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本文转载自公众号胡正宇结构视点（id:AlexHU2020）
作者：胡正宇，英国皇家结构工程师学会(IStructE)资深会士(Fellow)，加拿大安省分会主席(Chairman of IStructE Ontario Division)，现持有英国皇家注册结构工程师、加拿大ON/AB/BC省注册工程师 Professional Engineer (P.Eng.)、BC省特别指定结构工程师 Designated Structural Engineer (Struct.Eng.) 以及中国一级注册结构工程师等诸多国家和地区的顶级结构工程设计从业资质。胡正宇先生目前还是美国土木工程师协会正式会员(M.ASCE)，并兼任英国皇家结构工程师学会皇家注册结构工程师考试阅卷考官（Marking Examiner of IStructE Chartered Membership Exam）。胡先生拥有超过二十年国际工程设计经验，精通从超高层到大跨度等各种结构类型的设计及项目管理。现为加拿大国家钢结构设计规范(CSA-S16)技术委员会委员，也是中国现行构筑物抗震规范GB50191-2012主要起草人之一。
编者按：在前几周的公众号文章中，我们谈到了Gustave Eiffel 和他设计建造的Eiffel Tower, 以及Fazlur Khan和他所设计的Sears Tower。本来本周打算继续介绍一位现代结构工程领域的大师和他的作品，但一位朋友的后台留言改变了我的计划。他问道：我们现今的时代科技比历史上的任何时期都先进，经济也更发达，但为什么没有涌现出像Gustave Eiffel和Fazlur Khan这样通过结构创新从而影响结构工程史的划时代的大师？我觉得这是一个非常好也非常有意义的话题，所以本周文章就此谈一谈自己的想法和认识，并顺便介绍一些结构概念创新层面的经典论著，希望能够抛砖引玉，供各位同行朋友探讨及参考。需要特别说明的是：以下文中所涉及的所有项目相关资料及图片除部分为本人自有外，其余均来自文末索引中相关论文或收集整理自互联网，版权归原作者所有。另本文并非学术性论文，仅为供各位读者茶余饭后阅读消遣的一般综述性文章，错漏之处，敬请各位见谅。
众所周知，在结构设计领域，创新主要体现在两个方面：结构设计技术层面的创新和结构概念设计层面的创新。这两者相辅相成，二者缺一不可。结构设计技术层面的创新可以为工程师们装备更加先进的设计工具并极大的提高工程师们的工作效率；而概念设计层面的创新往往是划时代的和革命性的。打一个形象的比喻，就如同你采用梁柱框架体系去设计一栋建筑，在材料的强度和刚度没有发生质的飞跃的前提下，就算你分析计算的再精细，由于结构体系强度刚度的天性使然，当建筑超过一定的高度后，其结构体系的效率会大幅度的降低，而且在建筑占地面积尺度一定的前提下，框架体系由其自身无法超越的高度极限。但如果采用框架核心筒结构体系，由于其体系自身的强度刚度特性，它注定比框架结构体系建的更高，且超过一定的高度后更经济。因此对于框架结构体系来说，框架核心筒结构体系就是一种设计概念上的创新。同样，对于框架核心筒结构体系来说，深梁密柱的成束筒体(Bundle Tubes)加上带状桁架的结构体系由于其在体系刚度上的先进性，在达到同样高度时的结构效率指标方面，又完全碾压框架核心筒结构体系，因此对框筒而言，Bundle Tubes结构体系就是设计概念上的创新。因此结构概念设计层面的创新往往跳跃性的，具有其先代竞争者不可比拟的优越性，因而往往可以开创一个时代。
从结构设计技术层面的创新来看，在过去的几十年，结构设计在技术层面的创新在中国乃至欧美等主流结构工程技术强国得到了飞速的发展：材料方面的创新为我们提供了强度更高更加耐久的建筑材料；设计研究领域对材料性能的理解和创新为我们提供了更加可靠的结构设计规范用以指导设计；计算机软件算法及硬件领域的创新能够让工程师们处理人力所不能企及的大型模型的计算分析和设计；设计方法领域的创新为我们提供了针对具体项目具体分析的结构性能化设计的手段（比如基于结构性能的抗震设计Performance Based Seismic Design和抗风设计Performance Based Wind Design）并且这一趋势还在不断的强化和完善中，可以预见在不久的将来，性能化设计将渗透到结构设计的各个领域，并最终将成为结构设计的主流。正是因为在过去的三四十年中，这一系列在结构设计技术层面的发展和创新，为结构工程师们装备了较一两个世纪之前他们的同行更为强大的工具和技术指南。也正因为如此，我们才能够设计出那些体型巨大且体系极其复杂的建筑结构，比如鸟巢，比如水立方，比如中央电视台的总部大楼，以及在世界各地一栋栋拔地而起的超级高楼。而且随着科技的发展和依托先进的强大的软件辅助分析计算能力，结构工程师们势必可以处理更为庞大和复杂的工程。似乎我们正乘着科技的快车在一条指数上升的快车道上高速驶向未来，前景一片光明。可前景真是这样吗？
让我们回过头来再来看看结构创新的另一面-在概念设计层面的创新。在讨论之前，作者在这里想先向读者抛出两个问题：
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有多少工程师朋友现在正在从事结构概念设计层面的创新工作或者认为现代结构设计还有“机会”创造出颠覆性的由于已有结构体系的新型结构体系？
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有多少工程师去重视研究概念层面的创新，并可以有机会将自己“创新”的设计（不一定要是划时代的结构体系创新，构件层面的创新，或对既有体系的优化也算）推荐给建筑师并付诸实施的？
恐怕在现实工作中，对以上两个问题回答YES的人士在业内占极少数。那么是不是说结构工程的概念设计已经发展到了一个相当完善全面的阶段，从而我们已没有机会在这个层面去创新了呢？我个人给出的答案是YES and NO. YES是因为确实，结构工程技术发展到今天，在概念层面已经发展到了一个相当完善全面的阶段，在这个层面上要想产生划时代的创新越来越难。这一点同经典物理学领域类似，但同他们相比，在创新的机会方面来说，我们结构工程领域还是要乐观一些。所以就机会而言，我认为还是有机会的。但这需要整个结构工程行业的重视和鼓励，因为创新从来不仅仅专属于少数专家和精英，纵观历史，许多划时代的结构工程师譬如Fazlur Khan，譬如Gustave Eiffel，他们也不是一开始就是专家，是因为他们对结构工程的兴趣和概念创新的追求使他们不断地提高自己，不断地产生灵感并应用于实践，从而逐渐地提升自己的行业地位，并随着行业地位地提升，不断的有更好的机会去把他们的创新应用在项目中并付诸实现。因此支持创新的行业和社会的土壤很重要。为什么那些划时代的大师和体系的创新大都发生在十九，二十世纪？就是这个“土壤”的缘故。因为在当时的社会综合科技和生产力条件下，在结构技术层面的创新的难度要远远大于仅仅依靠人类大脑的概念层面的创新，再加上当时正处于一个对工程力学规律认知还不是很全面的阶段，这也触发了概念研究和创新的繁荣（这一点和物理学领域很相似）。
尽管在过去的三四十年中，结构概念创新方面虽没有取得像Fazlur Khan提出他的Bundle Tubes结构体系概念这样在体系合理性，结构效率以及对整个行业的影响方面具有划时代影响的人物和项目，但还是能看到一些难能可贵的闪光点。以作者所从事的高层结构设计以及抗震设计领域为例，美籍华裔工程师林同炎先生和他在预应力领域以及结构抗震概念设计领域所做的工作；William Baker (SOM) 和Robert Sinn (Thornton Tomasetti)等人所提出的在超高层结构设计中所采用的Buttressed-Wall体系，以及Santiago Calatrava在他所设计的Dubai Creek Tower中借鉴桥梁设计的理念创造性地采用了cable-stayed 结构体系，这些都是当代结构概念设计创新方面难能可贵的尝试，尽管其在行业及结构工程发展史上的影响力还有待时间的考验。
▼ Burj Khalifa，JeddahTower andDubai Creek Tower(图片来自网络，版权归原作者所有)
总之，可以毫不夸张地说，从结构技术层面和结构概念设计层面来讲，结构创新在这两方面的发展极其不平衡，这种不平衡甚至已经到了一家独大而令一支“近乎灭绝”的地步。这也是为何有人会发出“创新在结构概念设计中正在步向死亡” （“Innovation in Structural Design Concept is dying…”）的论调。从这点意义上来讲，这并非耸人听闻，如果我们继续不加以重视和鼓励的话。
那么，在现今的技术条件下，在概念设计层面，如何去探寻创新的切入点？作者认为，从经典中寻找灵感，借助于现代计算分析的辅助并尽量将其应用于结构工程设计中，不失为一个有趣且可行的途径。
记得好几年前我还在Halsall(注：Halsall于2014年被WSP并购)工作时，有段时间我对“Graphic Statics”非常着迷，正苦于相关资料不多时，无意中在多大（University of Toronto）的电子图书馆发现一本1912年出版的由Charles W. Malcolm所著的教科书“Graphic Statics”，当时如获至宝。
“Graphic Statics”向我展示了结构工程史上曾经繁荣如今却几乎遗失的“另一片天空”，在那里，我遇见了Maxwell的Load Path Theorem 和Michell 的discrete frames。然后这些经典的理论又把我引向了GeoGebra和Topology Optimization等现代技术。那段时间我似乎有些“走火入魔”，将几乎全部的工作之余时间都花在了学习和了解这方面知识上面。后来，我就想在公司内部做一个presentation，把我那段时间的所习分享给我的同事们。由于当时SOM的William Baker团队正在进行相关方面的研究并已取得相当丰硕的成果，我于是给Baker先生发了一封邮件向其咨询是否可以在我的presentation中展示他和他的团队的一些这方面的研究成果，得到了他非常肯定的支持，还同时向我提供了一些宝贵的资料。于是在2014年初，我在我公司做了一个题为“Structural-Innovation – When Classic Theories meet New Technologies”的内部Technical Seminar，主要通过应用GeoGebra向同事介绍了经典的Graphic Statics，Maxwell的Load Path Theorem和神奇的Michell Truss，并将其与当时热门的Topology Optimization技术作对比，结果当时在同事中引起了热烈的讨论，并获得了相当正面的反响。在此，谨与各位作一分享。
图解静力法（Graphic Statics ）
图解静力法（Graphic Statics）是仅使用图形几何的方法即可求得结构内力的强大工具。它曾经在19世纪及20世纪初被广泛使用，并作为工科高等院校结构专业的专业课程。随着现代结构力学技术的崛起，其作为一种计算工具的功能被逐渐削弱并逐渐退出历史舞台。Graphic Statics可通过使用几何图形技术来确定平面杆件体系桁架各杆件中的轴力。它使用简单的绘图工具即可完成的，也可以使用计算机图形程序或简单的spreadsheet即可轻松完成。它不需要计算刚度，只需要简单的几何关系即可。它产生两个图：一个代表桁架的几何形状(Form Diagram)，另一个代表桁架构件中的轴向力(Force Diagram)，这两个图是对等的。克雷莫纳（Cremona）随后修改了此概念，在Form Diagram中的每一条线（桁架几何形状）在Force Diagram中都有一条平行线，其长度与Form Diagram中对应的桁架杆件中的轴向力成比例。Maxwell还确定了Form Diagram中的每个节点都映射到Force Diagram中的闭合多边形，该多边形表示该节点处力的平衡。同样，Form Diagram中的每个多边形都映射到Force Diagram中的一个节点。因为这两个图是对等的，所以映射也可以相互颠倒。这意味着设计人员可以通过调整Force Diagram中力线的形态和长短，以操纵桁架的几何形态并使其同时满足设计所需的杆件内力条件。
以上文字也许有些抽象，现举例说明：比如现有一个标准的三角形坡屋盖桁架（gable truss），其Form Diagram如下左图所示，而Force Diagram如下右图所见。
由左边Force Diagram可知，三角形的坡屋面的桁架上弦杆的轴力并不相同，那么我们如果要设计一个上弦杆轴力相等的坡屋面桁架，其形状应该如何呢？很简单，只要调整Force Diagram中的节点，使Force Diagram中的线段a-1, b-3,c-5, d-6, e-8和f-10的长度调整使其相同即可，调整后的得到的Form Diagram如下所示：
动图如下：
是不是很有趣？还不止如此，以上形态的桁架还被成功应用于实际工程中！如下所示:
▼ Design using form-finding of a constant-force gable truss (Zalewski and Allen, 1998) (图片来自网络，版权归原作者所有)
那么如果我们要再进一步，如何构建一个上下弦轴力相等的桁架呢？同样可以通过调整Force Diagram所得，如下所示：
动图如下：
是不是更有趣了？还没完，让我们再进一步：对于上下弦轴力相等的桁架，是否只有以上一种形式？如果我不希望看到那些对角斜杆可不可以？当然可以，当然不只是一种形式，你所要做的就是在Form Diagram中充分发挥你的想象力去调整力线的位置即可实现，譬如下图所示：
这样的例子举不胜举，而且如果你有兴趣，或条件许可，完全可以同建筑师一起创造出属于你你们自己的既符合建筑美学又符合力学原理的桁架。这就是Graphic Statics的奇妙之处之一。另外，提到相关力学原理，我们则必须要聊一聊Maxwell的力径定理Load Path Theorem。
Maxwell‘s Load Path Theorem
麦克斯韦的“力径定理”及其应用
科学界有一个著名的轶谈：当有一次爱因斯坦被问到他是否站在牛顿的肩膀上时，他回答说：“这种说法不太正确。我站在麦克斯韦的肩膀上” “That statement is not quite right. I stood on Maxwell’s shoulders”（Forfar，2012年）。由此可见Maxwell在近代科学史的地位。Maxwell全名詹姆斯·克莱克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell），是19世纪最伟大的思想家和科学家之一，尽管他以电磁理论方面的工作和取得的成就而著称，但可能为大众所不知的是，Maxwell的工作还涉及到许多其他学科领域，包括结构工程，他在结构工程方面也做了许多重要的工作，其中比较不为人知却非常强大的的就是他在1864年发表的论文《On Reciprocal Figures and Diagrams of Forces》（《关于力的对等图解》）中提出的一个定理：结构体系中所有拉力路径总和减去压力路径总和等于与所施加在这个结构体系上的外力（包括反作用力）相关的一个确定值，即“力径定理”(Load Path Theorem)。这里，结构体系的“载荷路径”(“Load Path”)一词是指体系中每个构件中的轴向力之和乘以其长度。用方程式表示，麦克斯韦定理可以写成下式：
上式等号右边的值表示结构体系所受各外力矢量与其关于任意原点的位置矢量的点乘积之和。该点积可以看作是所有外力抵消所有反作用所需要的负功的表示。它的证明很简单：如果一个桁架具有一系列施加的外部载荷，这些载荷与一组内部力处于平衡状态（请参见下图），并且假定这个桁架的几何形状关于任意点放大两倍，那么所有拉力所做的正功即等于每个构件中的拉力乘以两倍的构件长度的和。而压力所做的负功也等于相应构件中的压力乘以两倍的受压构件长度的和。由能量守恒可知，体系内总功将等于外力所做的功，即等于右侧的点积。
尽管该定理在我们过去的结构工程设计中几乎被忽略，但它在桁架设计中应用却有着具有巨大的潜力。因为它告诉我们，对于给定大小，方向和位置的一组外部载荷，结构体系中构件拉力总路径越长，则压力总路径就必须越长。换句话说，如果拉力（或压力）载荷路径“太长”，则从受力和功的角度来说，桁架将受到两次惩罚：一次受拉，一次受压。因此，如果我们能够找到一种桁架的网格形态使得拉力总路径最短，则压力总路径必然也最短，反之亦然。
如何理解这个定理，对此William Baker在他的一篇报告中做了图解示例，以作用在3:1跨度的未知形态的悬臂体系上的载荷和支点反力为例（见下图）来解释Maxwell的力径定理。假定原点位于悬臂的左下角，则点积所有外力（包括支点反力）矢量和力作用点位置矢量之和可以轻松算得等于PB。因此，根据Maxwell的力径定理，在这个悬臂体系中，拉力路径总和和压力路径总和之差即为PB。
然后通过研究一系列不同形态的悬臂桁架来考察其悬臂效率。将各种形态的悬臂，力径以及悬臂端竖向位移汇总如下:
由上图表可知，Warren Truss形态的悬臂是一种具有相当短力径的桁架，具有相当高的悬臂效率；而Bounded Optimal Truss形态的悬臂是具有更短力径的桁架。它代表了当悬臂桁架高度限制为B而桁架杆件数限制为12时的最小载荷路径体系方案。尽管看起来有些不寻常，但其几何形状非常规则，所有拉杆和压杆相交的节点几乎以相同的角度发生。如果使这些角度完全相同，则负载路径仅增加0.03％；如果悬臂的跨高比调整为2.63:1，则拉杆和压杆之间的角度为60度，并且三角形变为30/60/90直角三角形。但需要注意的是，最短力径并不是设计桁架时选择最终解决方案的唯一考虑因素。因为设计人员需要综合考虑诸如复杂性，成本，可用性，美观性，多种加载条件以及允许拉压应力等诸因素来确定最终实施方案。
由上述不难发现，麦克斯韦的“力径定理”在研究杆件平面桁架体系的效率即优化时，具有极其强大的功效，且不需要复杂的分析计算。这对于结构概念设计的创新是一个不可多得的利器。而A. G. M. Michell正是基于麦克斯韦的“力径定理”提出了他著名的最短力径桁架原理。
神奇的Michell Truss
A. G. M. Michell在1904年发表了一篇开创性的论文，他在其中概述了具有最短力径的桁架原理，并提出了一系列的解决方案。Michell从麦克斯韦的载荷路径定理出发并引申出一个定理：如果有一个连续正交变形场，其中所有受拉单元均等应变拉长，并且所有受压单元都经历相同的等应变压缩，则由此应变场定义的结构将具有最小总力径，且结构的总力径等于作用在此假定的变形场中的外力所做的功。这些变形场必须满足一定的数学关系并为具有正交的拉伸和压缩应变的应变场。
下图即为Michell在他的这篇论文中包含的具有最短力径的一些桁架几何形状。因为Michell是从连续体力学的角度来研究这个问题的，所以理论上他的解允许存在无限多个单元。但是，米歇尔桁架非常有用，因为它们可以代表最佳的具有最短力径的几何形状，并可以此基准去考察给定结构的效率。但是，在实际桁架的设计中，最终结构体系总是由有限数量的杆件组成。因此，查看这通常称为离散的Michell桁架或离散的最佳桁架的非连续Michell桁架最优解则显得非常很有用了。
▼ Michell(1904)论文中的最短力径结构
半无限体扇面(左); 等角螺线正交系统(中); 中心受荷梁(右);
(图片来自网络，版权归原作者所有)
下图即为一个典型的具有有限单元的离散的Michell桁架。有趣的是，下图中离散的Michell 悬臂桁架的最佳结构由几个子结构组成，对于给定的单元数和节点连结，每个子结构也是最优的。例如，在子结构ξ2中显示了两个杆件单元的结构的最佳几何形状。同样，对于八个杆件单元，两杆件最优结构又是较大的8杆件最优结构的一部分，以此类推，它又是由18、32、50等更多单元的最优结构的一部分。对于如何构建此类三点或三力结构几何形态的详细图形规则，有兴趣的读者可以参考Mazurek等人和Mazurek的相关论文。
使用Michell的理论或图形规则精确推导离散桁架的最佳几何形状对于复杂的受荷情形通常比较困难。幸运的是，今天，设计人员拥有一些强大的拓扑优化工具，可以帮助为这些更复杂的结构逼近其最优结构形态。其中一些工具包括使用材料分配方法的拓扑优化，例如SIMP（带罚分的固体各向同性材料的变密度法），或基于地面结构的离散桁架拓扑优化方法等，但不管使用何种现代拓扑优化工具，Michell理论及桁架概念将作为一个定性的用以检视结构优化优劣的重要标尺，以确保结构设计工程师在大型复杂结构的概念设计及优化的过程中不至于被拓扑优化软件分析计算所得的结果所迷惑。以下图为例，通过拓扑优化工具分析所得的矩形悬臂结构最优结构方案与由 Michell理论所得的最优结构单元分布形态基本一致。
通过下表对简支桁架结构体系的分析对比可知，以基于地面结构的拓扑优化所得的理论最优模型为基准，具有有限单元的离散的Michell桁架形态的桁架梁具有最为接近理论最优解的结构效率，从体系刚度来看，比传统的Warren Truss 和Lattice Truss的结构效率要高约20%，且结构杆件具有高度的规则性因此在实际应用的可实施性不亚于任何一种传统的桁架形式。
结论和启示
综上所述，从经典中寻找灵感，借助于现代图形控制软件及计算分析辅助软件并将其应用于结构工程设计中，不失为一个有趣且可行的结构概念层面创新的途径。图解静力法（Graphic Statics）作为一种计算工具早已被现代分析计算理论和软件所取代；但其作为一种辅助设计工具，由其是其Force Diagram和Form Diagram相通原理，使得结构工程师可以借助现代图形控制软件(譬如GeoGebra)，去直观形象地感知和建立结构形态和结构内力分布的相关性，并可以根据自己设定的结构内力分布目标去探寻相应的结构形态，这是一个人人都可以去探索的奇妙的概念创新之旅；而Maxwell的“力径定理”及Michell Truss理论则为最优结构几何形态奠定了基础，借助强大的现代拓扑优化工具，可以对复杂的结构体系和形态在承受更加复杂的荷载条件下，从概念层面对结构体系进行有效的优化创新。而且，本文中所提及的结构经典理论仅仅是那些在漫长的历史发展过程中被人们有意或无意忽略或埋没的众多经典理论之一，众多被埋没的工程理论瑰宝正静静地躺在历史的长河底等待着我们的发掘……最后，我想援引William Baker在一篇报告中所说的一句话作为本文的结语，以共勉。
“Things I wish I had known when I started designing structures. …None of the above theorems, tools or techniques was included in my engineering education, but all are very useful in developing an efficient structural design…”
– William F. Baker
“这些都是我希望在我开始从事结构设计工作时就能知道的…很可惜，以上提及的任何一个定理和理论及方法都没有在我所受到的工程教育中出现过，但是这些恰恰是对发展一个高效的结构设计极其有帮助的知识。”
-WilliamF. Baker
参考文献
1.Baker, W. F., Structural Innovation: Combining Classic Theories with New Technologies.
2.Baker, W. F., Beghini, L. L., Mazurek, A., Carrion, J., and Beghini, A. “Maxwell’s Reciprocal Diagrams and Discrete Michell Frames.” Structural and Multidisciplinary Optimization, 2013.
3.Beghini, A., Beghini, L. L., Schultz, J. A., Carrion, J., and Baker, W. F. “Rankine’s Theorem for the Design of Cable Structures.” Structural and Multidisciplinary Optimization, 2013, Submitted.
4.Stromberg_Application of layout and topology optimization for the conceptual design of buildings.
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