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这学期正在上《高层转自：建筑结构-公众号设计》，虽然这门课已经上了好几年了，但每次讲到“结构稳定”这一小节，心里总有点虚，因为自己对书上内容理解得也不是很明白。以下是教科书（包世华、张铜生编著）上的相关内容：

“高层转自：建筑结构-公众号的稳定设计主要是控制在风荷载或水平地震作用下，重力荷载产生的二阶效应不致过大，以免引起结构的失稳、倒塌。结构的侧向刚度和重力荷载之比（简称刚重比）是影响重力P–Δ效应的主要参数。只要结构的刚重比满足下列规定，则在考虑结构弹性刚度折减50%的情况下，重力P–Δ效应仍可控制在20%之内，结构的稳定具有适宜的安全储备。若结构的刚重比进一步减小，则重力P–Δ效应将会呈非线性关系急剧增长，直至引起结构的整体失稳。”

上面这段文字实际上是《高层建筑混凝土结构技术规程（JGJ 3-2010）》（以下简称《高规》）的5.4.4条的条文说明，上述的“下列规定”就是5.4.4条的条文内容：

1 剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体结构应符合下式要求：

2 框架结构应符合下式要求：

以上两式中的EJ_d和D_i为等效抗侧刚度（更完整的定义可参看规范条文），G_i为每层的重力荷载，H和h_i分别为结构总高度和层高。一般认为剪力墙、框剪和筒体结构是整个结构发生失稳，而框架是局部楼层失稳，所以就有了上面的区别对待。前面提到的“刚重比”用符号表示就是和。

后来我又找到了以上条文的由来，为徐培福和肖从真两位前辈大师于2001年发表的论文^[1]，文中推导了考虑P-Δ效应和不考虑P-Δ效应的侧移比（采用的是简化方法，有些情况下误差可能会比较大），并给出了侧移比随刚重比变化的曲线，进而有了“P–Δ效应增幅大于20%后，结构刚重比稍有降低，会导致P–Δ效应急剧增加，甚至引起结构失稳”的结论。

而我一直的困惑是

结构失稳到底是怎样的？能给人一个直观感受吗？

P–Δ效应大点难道就会失稳吗？

如果本来一阶位移就很小呢，也会失稳吗？

看了两位前辈大师的论文，还是没有打消我心中的疑问，于是，我只好自己翻书琢磨，以下是我的琢磨所得。

在谈高层结构的稳定之前，我觉得有必要先回顾下结构稳定的一些基本概念。简支压杆通常被用来介绍稳定的基本概念，其临界荷载N_cr为

上式是根据完全直杆发生微小侧移后存在平衡位形这个条件得到的，其推导过程在《材料力学》和《钢结构》教科书中一般都会给出，这里就不再详述了。

图1 简支压杆的变形

真实杆件都有初始缺陷（initial imperfections），也就是说，压杆不是完全直的。假定杆件的初始位形v₀为

由杆件各截面的弯矩平衡可得如下控制方程：

上述微分方程的解为

柱中的侧向位移（包括初始位移）为

上式也可以改写成如下形式：

由上式得到的轴力-柱中侧向位移（N–δ）曲线如下图所示。

图2 弹性分析得到的N–δ曲线

由上图可知，轴力存在上界，即临界荷载N_cr；当轴力趋向于临界荷载时，水平位移会急剧增大。换个角度讲，如果轴力是按位移控制施加的（结构试验一般属于这类情况），那么压杆会承担着接近于N_cr的轴力一直变形下去。

实际情况真是这样的吗？当然不是！前面的公式是在结构完全弹性的前提下推导得到的，真实结构不可能一直处于弹性状态，受力最大的位置总会达到材料强度，上述压杆是不可能维持着接近N_cr的轴力一直变形下去的。

所以，要描绘出简支压杆的真实受力行为，必须引入材料强度。

我们假定材料是刚塑性的，则对于矩形截面，可以推导得到给定轴力N下的截面受弯承载力：

上式就是正截面承载力分析常用的N–M_u相关关系。式中，M_p为轴力为0时的受弯承载力，N_p为轴心受压承载力。对于刚塑性模型，柱中（弯矩最大处）会形成塑性铰，如下图所示。由弯矩平衡可得

图3 简支压杆的刚塑性分析模型

联立上面两式可以得到形成塑性铰后的N–δ关系：

把由弹性分析和刚塑性分析得到的N–δ曲线画在同一张图上，可以大致描绘出构件的全过程荷载-位移响应。下图曲线对应N_cr/N_p = 0.5、M_p = 0.04N_pl、δ₀ = l/200的情况。

图4 弹性分析和刚塑性分析得到的N–δ曲线与真实响应的关系

在构件初始屈服前，真实N–δ曲线与弹性分析得到的一致，屈服以后，真实曲线会偏离弹性分析得到的曲线，并逐步向刚塑性分析得到的曲线靠近。塑性铰形成后，由于P–Δ效应，压杆的承载力会逐步降低。

以上公式推导在文献[2]中都能找到，并非我的原创。

前面谈了简支压杆的失稳，作用荷载只有轴力。高层结构的受力状况与其不同，它虽然也承担轴力作用（由重力荷载引起），但高层结构的轴力水平是被控制的，它不会直接导致结构失稳。我们更关心的是，在水平荷载作用下，由重力二阶效应（P–Δ效应）导致的结构失稳。

为简化分析，我们用一根底部固接的悬臂杆来代表高层结构，轴力N和水平力F都作用在悬臂杆顶端，如下图所示。实际竖向荷载和水平荷载都是分布的，但采用集中荷载并不会影响我们对稳定问题的解释，只是推导得到的位移和内力结果会与荷载分布的情况相差一个系数。

图5 高层结构受力分析模型

在结构变形后的位形上建立平衡方程（即考虑二阶效应），可得弹性杆件（无分布荷载作用）位移响应的控制微分方程为

上式的推导过程可参看陈惠发先生的著作^[3]，再结合底部固接悬臂杆的四个边界条件：

可得悬臂杆的侧移曲线方程为

对于底部固接的悬臂杆，临界轴力N_cr为

由上式可得

也就是说，轴力与临界轴力的比值N/N_cr为刚重比EI/Nh²的倒数再乘以0.4。

由侧移曲线方程可得结构的顶点位移为

上述位移为考虑二阶效应的顶点位移。

不考虑二阶效应的顶点位移为

二阶位移Δ_II和一阶位移Δ_I的比值为

由上式可知，二阶位移和一阶位移的比值Δ_II/Δ_I只与轴力水平N/N_cr（或刚重比EI/Nh²）有关。下图绘制了Δ_II/Δ_I和N/N_cr以及Δ_II/Δ_I和刚重比EI/Nh²的关系曲线，两条曲线对应的N/N_cr的范围都是0.05~0.7（相应的EI/Nh²的范围是8~0.57）。

图6 Δ_II/Δ_I–N/N_cr和Δ_II/Δ_I–EI/Nh²曲线

有意思的是，上面两条曲线的切线斜率变化幅度相差甚大。对于Δ_II/Δ_I–N/N_cr曲线，Δ_II/Δ_I会随着N/N_cr的增大而增大，但在图示N/N_cr范围（0.05~0.7）内，Δ_II/Δ_I并没有随着N/N_cr发生剧烈变化。相反，对于Δ_II/Δ_I–EI/Nh²曲线，同样是对应N/N_cr=0.05~0.7，我们确实能看到：当刚重比EI/Nh²小于某个值（比如2）后，Δ_II/Δ_I会随着刚重比EI/Nh²的减小而急剧增大，似乎印证了《高规》里说的“若结构的刚重比进一步减小，则重力P–Δ效应将会呈非线性关系急剧增长，直至引起结构的整体失稳”。

产生上述两个互相矛盾的感受的原因是啥呢？我们前面说过，N/N_cr是刚重比EI/Nh²的倒数再乘以0.4，那么，刚重比EI/Nh²也是N/N_cr的倒数再乘以0.4。N/N_cr从0.1变到0.4，EI/Nh²从4变到了1，减小了3；N/N_cr从0.4变到0.7，EI/Nh²从1变到了0.57，减小了0.43。同样是N/N_cr增加了0.3，前一次EI/Nh²减小了3，后一次EI/Nh²只减小了0.43。所以，“当刚重比EI/Nh²小于某个值（比如2）后，Δ_II/Δ_I会随着刚重比EI/Nh²的减小而急剧增大”并不是因为Δ_II/Δ_I本身在急剧增大，而是在这个范围内，增大轴力对刚重比数值的影响在急剧减小。

为了更直观地说明这个问题，我们只绘制EI/Nh² = 0.57~1（对应N/N_cr=0.7~0.4）时的Δ_II/Δ_I–EI/Nh²曲线，见下图。这回，我们并没有看到“Δ_II/Δ_I随着刚重比EI/Nh²的减小而急剧增大”这个现象。

图7 EI/Nh² = 0.57~1（对应N/N_cr=0.7~0.4）时的Δ_II/Δ_I–EI/Nh²曲线

当刚重比EI/Nh²为0.57时，Δ_II/Δ_I的比值为3.3，也就是说，考虑二阶效应的顶点位移为不考虑时的3.3倍，这能说明结构有失稳的风险吗？我觉得不能，它只能说明：考虑二阶效应后，结构的抗侧刚度为不考虑时的0.3倍。

《高规》通过把P–Δ效应增幅（即，Δ_II/Δ_I-1）控制在20%以内来保证结构不发生失稳。根据以上分析，我认为：在没有其他前提条件的情况下，Δ_II/Δ_I-1>0.2并不能跟结构失稳相关联。要说清楚高层结构的失稳，必须涉及结构强度（承载力）。

我们沿用前面的底部固接悬臂杆，假定杆件底部出现塑性铰，受弯承载力为Mu，如下图所示。

图8 底部形成塑性铰后的分析模型

由弯矩平衡可得

由上式可以得到形成塑性铰后，水平力F与顶点位移Δ之间的关系：

由上式可以看出，P–Δ效应会降低结构的抗侧承载力。

前面我们已经得到了弹性阶段F与顶点位移Δ之间的关系：

把弹性分析和刚塑性分析得到的F–Δ曲线画在同一张图上，可以大致描绘出结构的全过程荷载-位移响应。下图曲线对应M_u=0.04N_crh、N/N_cr=0.4（EI/Nh²=1）的情况。如果结构一直保持弹性，水平力F会随着顶点位移Δ的增大而一直线性增大，并不存在上界，这和前面的简支压杆是不同的，所以，只要N/N_cr <1，水平力作用下的弹性结构不会发生失稳。

图9 弹性分析和刚塑性分析得到的F–Δ曲线与真实响应的关系

结构屈服以后，真实曲线会偏离弹性分析得到的曲线，在P–Δ效应的作用下，F会达到最大值（即抗侧承载力），然后逐步减小。

因此，结构失稳是由于外荷载超过了结构抗侧承载力导致的，而《高规》只关注P–Δ效应对结构抗侧刚度的降低作用，并没有抓住问题的本质（斗胆下了这个结论，如有错误，请批评指正，huhs09）。

我们近似把弹性F–Δ曲线和刚塑性分析F–Δ曲线的交点作为结构的抗侧承载力（实际抗侧承载力会更低），由此得到的抗侧承载力F_u表达式为

由上式可知，结构的抗侧承载力与不考虑P–Δ效应时的抗侧承载力M_u/h和N/N_cr（或刚重比EI/Nh²）有关。下图是F_uh/M_u与N/N_cr、F_uh/M_u与EI/Nh²的关系曲线。

图10 F_uh/M_u–N/N_cr和F_uh/M_u–EI/Nh²曲线

可见，F_uh/M_u会随着N/N_cr的增大而减小，且两者近似呈线性关系。结构是否发生失稳，不但与N/N_cr（即刚重比）有关，还与结构本身的承载力M_u/h和外荷载的大小有关。

参考文献：

徐培福, 肖从真. 高层建筑混凝土结构的稳定设计. 转自：建筑结构-公众号, 2001, 31(8):69-72.
Murray NW. Introduction to the theory of thin-walled structures. Clarendon Press, 1984.
Chen WF, Lui EM. Stability Design of Steel Frames. CRC Press, 1991.

来源：结构拾遗；作者：胡红松。