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“浅析分布塑性铰单元的各类数值积分方法”
推文【OpenSees】浅析纤维单元的数值积分方法 向大家介绍了纤维单元的数值积分方法，本周将浅析分布塑性铰单元的数值积分方法。
各类积分方法
为真实反应构件的变形及受力特性，分布塑性铰单元的积分方法宜满足下列条件：
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积分点宜位于单元端部，可在水平力作用下反应单元的最大内力及变形。
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积分方法应能准确反映线性曲率下的单元受力及变形特性。（准确反映弹性）
由于分布塑性铰的塑性区域多采用Gauss-Radau，该积分方法的代数精度为2N-2。为准确反映线性曲率下的单元变形特性，数值积分方法应保证有2阶代数精度，即意味着Gauss-Radua需至少有2个积分点。
分布塑性铰的中部单元默认采用Gauss-Legendre（2N-1），具有两个积分点，代数精度为3，能够准确模拟线性曲率问题。
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Midpoint Hinge
Midpoint Hinge为单点的Gauss-Radau积分，积分点为塑性铰区的中点，能够准确积分线性对象。但由于积分点不在端部，因此无法获取构件的最大内力及变形。除此之外，由于其代数精度不足，无法准确反应线性曲率问题，因此该积分方法不常用。
图1 Midpoint Hinge和Endpoint Hinge
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Endpoint Hinge
同为单点Gauss-Radau积分，Endpoint Hinge的积分点位于端部，可反应最大内力及变形。但其积分精度不如Midpoint Hinge，仅能准确积分常值对象，亦不能反应线性曲率问题，因此也不常用。
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Two-Point Gauss-Radau
Two-Point Gauss-Radau在塑性铰区各具有两个积分点，代数精度为2，可准确反应线性曲率问题。同时，塑性铰区各有积分点位于单元端部，因此该积分方法亦可反应构件的最大内力及变形。
当Lpi+Lpj=L时，整个杆件拥有4个均匀分布的积分点，相当于Newton-Cotes积分（可参考【OpenSees】浅析纤维单元的数值积分方法），此时代数精度提高为3。
图2 Two-Point Radau与Modified Radau
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Modified Gauss-Radau
Modified Radau积分在Two-Point Radau的基础上提出，将端部积分点的权重固定为塑性铰区域长度。好端端的为何要固定权重值呢？
当杆件强度发生退化时，退化仅发生在端部积分点处，其余积分点出现卸载，如图3所示。因此积分点的权重决定着构件强度退化的速率，固定端部积分点的权重，相当于稳定了构件的强度退化速率。
图3 积分点柔化与卸载问题
由于Modified Radau固定了端部积分点的权重，因此端部积分点与相邻的积分点相离甚远，强度扩散较慢，导致在强度硬化的问题上，该积分方法的计算结果偏柔。
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Regularized Hinge
为同时保证强度硬化和强度柔化模拟的准确性，诞生了Regularized Hinge的积分方法。该积分方法利用Lobatto或Newton-Cotes的积分点位置，将端部积分点的权重固定为塑性铰长度（模拟强度柔化），并在距端部节点ε的位置附加积分点（模拟强度硬化）。以5个积分点的Gauss-Lobbato为例，Regularized Hinge的积分点及权重如图4所示。
图4 Regularized Hinge积分点及权重
附加积分点的位置对数值模拟的结果较为敏感，根据M.H.Scoot（2008）的模拟结果可知，ε值越小则强度柔化的模拟效果越差，反之则强度硬化的模拟效果越差。根据其结论，ε值宜取为0.1w1。
图5 附加积分点位置的敏感性（图片来源：M.H.Scoot）
算例
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强度硬化模拟
选用截面为380×380mm，长度为1.6m，壁厚为12.7mm的Q345箱型构件，钢材本构硬化系数取3%，采用Gauss-Lobatto的纤维单元进行推覆分析，将构件推覆至60mm再卸载。
不同积分点数的分析结果如图6所示。通过图6可以发现，当积分点数大于5时，分析结果收敛于同一值，基本可满足精度要求。
图6 Lobatto强度柔化模拟
以7个积分点的Lobatto为例，各积分点的弯矩曲率曲线如图7所示。由图7可知，对强度硬化问题，塑性区域会从构件端部向顶部扩散；而对于前文的强度软化问题，塑性仅会发生在端部积分点。
图7 同一构件不同积分点的弯矩曲率曲线
基于Two-Point Gauss-Radau、Modified Gauss-Radau和Regularized Hinge进行推覆分析，与7积分点的Lobatto分析结果进行对比，结果分别如图8和图9所示。
由图8可知，Two-Point Gauss-Radua的强度硬化模拟效果较好，而Modified Gauss-Radau由于端部积分点与相邻的积分点相离甚远，强度扩散较慢，导致计算结果偏柔。
图8 Radau强度硬化模拟效果对比
由图9可知，Regularized Hinge拥有5个积分点时，其分析结果与7点Lobatto相近，具有较好的模拟效果。
图9 Regularized Hinge强度硬化模拟效果对比
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理想弹塑性&强度柔化
基于Gauss-Lobbato进行理想弹塑性和强度柔化模拟。将前文箱型构件的钢材本构硬化系数取为小值，并做为理想弹塑性的模拟对象；取【Perform3D】震惊！其纤维单元竟是位移元！？中的构件做为强度软化的模拟对象，分析结果如图10所示。
图10 Lobatto理想弹塑性及强度软化的模拟
由图10可知，对于理想弹塑性和强度软化问题，不管是构件力位移曲线还是端部积分点弯矩曲率曲线，增加积分点的数目并不会获得唯一解。这主要是由于塑性仅发生在端部积分点，无法向上部积分点扩散而造成。
端部积分点的权重决定这强度软化的速率以及构件端部的曲率值。当权重越小时，构件软化速率更快，端部曲率值更大。
为避免理想弹塑性和强度软化分析结果的不收敛问题，可采用修改材料本构或者更换单元类型来实现。具体的实现方法，且听下回分晓！
总 结
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MidPoint Hinge和EndPoint Hinge仅还有一个积分点，均无法准确模拟线性曲率问题。
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Two-Point Gauss-Radau具有2个积分点，其中1个积分点位于塑性铰区端部，可反应构件最大内力及变形，并可准确模拟线性曲率和强度硬化问题。
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Modified Gauss-Radau固定了端部积分点的权重，稳定了强度软化模拟的承载力下降速率，但对于强度硬化问题则模拟效果偏柔。
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Regularized Hinge通过附加积分点和固定端部积分点权重的方式，即能准确模拟强度硬化问题，也能准确模拟强度柔化问题。
近期较忙，更新时间可能会从每周一篇改为半月一篇。请谅解~
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