First~  “栗子” 说来就来：

   【例题】 悬臂梁的长度为1500mm，截面是200*200的实心钢，施加荷载为2000千牛，求位移挠度。

理论解：

欧拉梁-计算模型，位移 xq=81.917mm

铁木辛柯梁-计算模型，位移 X=83.053mm

划重点，记住这两个数字！

1 .在PKPM建模计算中，采用底端约束的柱代替悬臂梁，其中柱高度为1500mm，截面尺寸为200mm×200mm，所用材料为Q345，在柱顶端施加水平集中荷载2000kN，如图1所示：

图1 柱截面尺寸及施加荷载

2 .计算结果：在水平集中力作用下，柱顶端位移为：83.06mm，如图2所示：

图2 PKPM 计算结果

1 .在SAP2000建模计算中，悬臂梁长度为1500mm，其中梁截面尺寸为200mm×200mm，所用材料为Q345，梁截面几何性质如图1所示。悬臂梁左端固结，右端施加2000KN集中荷载，分别采用欧拉梁-计算模型和铁木辛柯梁-计算模型。 

图1 梁截面几何属性

2.铁木辛柯梁模型计算结果表明：在悬臂梁端集中荷载作用下，梁端位移为83.053998mm，如图2所示： 

图2 铁木辛柯梁模型计算结果

3.欧拉梁模型计算结果表明：在悬臂梁端集中荷载作用下，梁端位移为81.917857mm，如图3所示： 

图3 欧拉梁模型计算结果

1 .在Midas建模计算中，悬臂梁长度为1500mm，其中梁截面尺寸为200mm×200mm，所用材料为Q345，梁截面几何性质如图1所示和图2所示。悬臂梁左端固结，右端施加2000KN集中荷载，分别采用欧拉梁-计算模型和铁木辛柯梁-计算模型。 

图1 梁截面尺寸

图2 梁截面几何属性

2.铁木辛柯梁模型计算结果表明：在悬臂梁端集中荷载作用下，梁端位移为83.05340mm，如图3所示：

图3 铁木辛柯梁模型计算结果

3 .欧拉梁模型计算结果表明：在悬臂梁端集中荷载作用下，梁端位移为81.91748mm，如图4所示： 

图4 欧拉梁模型计算结果

1. 在perform3D建模计算中，悬臂梁长度为1500mm，其中梁截面尺寸为200mm×200mm，所用材料为Q345，梁截面几何性质如图1所示。悬臂梁左端固结，右端施加2000KN集中荷载，采用铁木辛柯梁-计算模型，模型如图2所示。

图1 截面属性设置

图2 单元和荷载设置

2. 铁木辛柯梁模型计算结果表明：在悬臂梁端集中荷载作用下，梁端位移为Dis=83.05549mm，如图3所示。

图3计算结果

1. 在Abaqus建模计算中，悬臂梁长度为1500mm，其中梁截面尺寸为200mm×200mm，所用材料为Q345，悬臂梁左端固结，右端施加2000KN集中荷载，分别采用欧拉梁B33-计算模型和铁木辛柯梁B31-计算模型。 

采用B33单元，即为欧拉梁单元，计算结果为Dis=81.92mm

采用B31单元，计算结果为Dis=82.98mm

为了较好的模拟即为铁木辛柯梁模型，做如下图调整，计算可得Dis=83.03mm：

采用实体单元分析，求得结果偏大，原因是假定计算不同，得到的位移Dis=87.66mm。

基于Python采用OpenSees进行建模计算，悬臂梁长度为1500mm，其中梁截面尺寸为200mm×200mm，所用材料为Q345，代码如下所示，悬臂梁左端固结，右端施加2000KN集中荷载，分别采用欧拉梁-计算模型和铁木辛柯梁-计算模型。

from openseespy.opensees import *

a = 200

v = 0.3

E = 2.06*10**5

G = E/2/(1+v)

Iz = a**4/12

F = 2000000

##################################################

wipe()

model(‘basic’, ‘-ndm’, 2, ‘-ndf’, 3)

## =========== 建模 ============== ##

node(1, 0, 0)

node(2, 0, 1500)

fix(1, 1, 1, 1)

geomTransf(‘Linear’,1)

#element(‘elasticBeamColumn’, 1, 1, 2, a**2, E, Iz, 1) #欧拉梁模型

element(‘ElasticTimoshenkoBeam’, 1, 1,2, E, G, a**2, Iz, a**2*5/6, 1) #铁木辛柯梁模型

timeSeries(‘Linear’, 1)

pattern(‘Plain’,1, 1, ‘-fact’, 1)

load(2, F, 0, 0)

## =========== 分析 ============== ##

system(‘BandSPD’)  

numberer(“RCM”)

constraints(“Plain”)

integrator(“LoadControl”, 1.0)

test(‘NormDispIncr’, 1.0e-15,  10 )

algorithm(“Linear”)

analysis(‘Static’)

analyze(1, 1)

print(nodeDisp(2,1))

分析得到结果：

铁木辛柯梁：83.05339805825236mm

欧拉梁：81.91747572815541mm

1. PKPM、SAP200、Midas、Perform-3D、Opensees 计算结果与理论结果误差均小于0.01%，利用上述有限元分析软件可以很好的实现理论的反演；

2. Abaqus 分析分别采用杆系单元和实体单元，由于网格划分和假定条件不同等问题，误差为0.0277%，虽然误差大于上述软件，但处于可接受范围；

3 .OpenSees计算精度和结果与手算最为贴切，在PKPM中采用的是铁木辛柯梁的梁单元。