在悬索桥理论中，经常看到一个叫作“重力刚度”的词，其一般的定义是：柔性的主缆因承受（恒载）重力而产生的抵抗（活载）变形的刚度（图1、图2）。由此定义，可以得到以下几个概念:

（1）重力刚度来自恒载的重力；

（2）恒载重力越大，刚度就越大；

（3）重力刚度是指抵抗活载变形的能力，而不是指抵抗恒载变形的能力。因为对于桥梁结构而言，恒载变形能够在建造过程中通过设置预拱度来消除。

很明显，上述的定义和概念都是从工程的视角得出的，它们在工程实际应用领域内是正确的。但如果再向深层次追究，从基本的力学视角来看此问题，又该如何呢？具体点就是：柔性水平索的竖向刚度最本质的来源是什么？是重力吗？这里只分析水平悬挂（两个支点在同一水平面内）的索，对于斜索（两个支点不在同一水平面内），原理一样的。

为了简单易懂且不失一般性，以一根无重量的柔性（无抗弯刚度）水平索为例进行分析。如图3 所示，索的两端支点A和B为铰接，A与B之间的距离为L，索的无应力长度为S=AC+CB，且S>L。

在没有任何外力（亦无自重）情况下，索是松弛的，轴力为零，其构形可以在约束及长度允许范围内呈任意形状。因要研究中点C的竖向刚度，所以设索的初始构形为图3黑线所示的折线形状。此时AC或CB与水平线夹角为t₀。

当在C处作用一个竖向力P时，索的构形因下挠而成为新的折线状态（图3的蓝线），索的斜线与水平线夹角变为t₀+t，索的轴拉力变为T。根据C点竖向平衡条件（图3）容易知道：

这是以索变形后的构形为参考构形所建立的平衡方程，是几何非线性方程（因为T也是t的函数）。

如果在此基础上，在C点又增加一个与P同向的作用力Q，则索产生新的角度增量r和拉力增量R，构形将因新的变形而发生变化（图3的红线），在新的位置处于新的平衡状态。此时有：

所以         

式（3）是作用力增量Q与变形增量t及 r之间的非线性关系式，其右端第二项是拉力增量R的贡献，而第一项则是原有拉力T（或P）的贡献。以P作用之后且Q作用之前的状态为初始状态，则由于角度增量r与挠度增量C”C’直接相关，因此式（3）也可以理解为“在初始状态基础上产生变形r所需要的竖向力Q的大小”。

从式（3）可以看出，如果不考虑变形增量t和r对构形的影响，即按线形理论计算，则式（3）右端第一项变为零，第二项变为2Rsint₀。很明显，对于产生变形r所需要的力Q，考虑几何非线性效应时比不考虑时要大，即前者情况下的刚度比后者大。并且原有的外力P或拉力T越大，式（3）右端第一项所增加的量就越大。因存在初始几何构形（t₀）以及几何非线性效应（t+r），使得原有作用力P（或拉力T）产生了对刚度的贡献。其中初始几何构形引起的就是线性理论得到的刚度贡献，变形t+r引起的就是几何非线性效应的刚度贡献。

要严格推导刚度表达式，就要求dP/dt表达式。为简单，设t₀=0，并注意T也是t的函数，可容易推导得到C点处的刚度K为：

其中E和A分别为索的弹性模量和横截面积。

从式（4）可以看出，t₀=0时，索的竖向刚度完全来自变形t对构形的影响，即几何非线性效应。如果没有或者不考虑变形t对构形的影响，则K=0，即没有刚度。

由上可总结出水平索的两个规律：（1）几何非线性效应使竖向刚度加大；（2）初始竖向力P使竖向刚度加大，并且P相对于Q越大，Q所引起的变形r相对于原有的变形t₀+t就越小。

上面定性地说明了水平索的竖向刚度与初始作用力P以及几何非线性的关系，严格的理论推导也可以证明上述结论的正确性，此处不赘述。另外，上面只是分析了在中点作用一个竖向力的情况，对于多个集中力或者分布力作用情况，其基本机理是一样的，上面的结论同样有效。

说到重力，或万有引力，不禁想起它的物理学意义。在万有引力定律中，牛顿认为万有引力是有质量的物体本身所固有的特性。但在广义相对论中，爱因斯坦认为万有引力是时空弯曲产生的几何效应。这里谈这个物理学的概念并不是因为本文问题跟这个直接相关，而是在说法上有点相似，即都与几何效应有关。

从上节的分析可以看出，如果原有作用力P是重力，那么由它所引起的刚度增加就是所谓的重力刚度。可见重力刚度问题只是前述一般问题的一个特例。另外，在上节所总结的两个规律中，刚度的增加都是几何非线性所引起的，因此从力学角度来看，水平索刚度的增加在本质上是几何效应，重力刚度本质上也是几何效应，或者说是“几何刚度”。没有几何非线性效应或者其不明显，即使有重力也不会有明显的刚度增加。相反，如果几何非线性效应明显，不通过重力也能获得较大的刚度增加。例如，图4 所示把上下两根索（红色与蓝色）紧绷且中间用连接索（黑色）相连，就会大幅度提高竖向刚度。

再次强调，如文章开头所述，本文是从力学基础的视角来看待重力刚度，寻求它的产生根源，而不是从工程的视角来看待的。目的是让读者除了了解其工程意义之外，也了解其力学本质。

来源：公众号“西南交大桥梁”

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