2 弯扭的微分方程

根据势能不变原理，可列出使式(3)具有不变值的四个欧拉方程：

经分析及简化可得：

此三方程形式上与弯曲和扭转公式(4a)、(4b)相同，此时坐标原点为S(u,v,β)，mt为对原点S的扭矩。讨论式(5c)，当杆件无扭转时，即β=0，则mt必为零，表示荷载w通过S点，这正是剪力中心的定义，因而S必定是剪力中心。如杆件扭转而不挠曲，即u=v=0，由式(5a)、(5b) 得出wx=wy=0，表示剪力中心S是截面在纯扭时的转动中心。

应用剪力中心概念，可简化势能表达式(1)为：

奥斯古特(Osgood)指出，剪力中心位置受到端部截面边界条件的影响。假定杆件截面形状不变同样适用于端部截面，可以定出单一的剪切中心。这一假定的含义是泊松比为零。如果不采用截面形状不变的假设，截面扭曲使每一部分都有自己的转动中心，剪力中心就不能定义为整个截面的转动中心。

3 轴心受压柱的势能

考虑前面的式(6)，可做如下推理:达到临界荷载之前，柱子保持直线，式(6)等式右边前四项表示弯曲和扭转的应变能，此时应为零。根据切线模量理论，达到切线模量时对应屈曲刚刚开始，此时刚刚有弯曲和扭转产生，材料模量应采用瞬时值Et，Gt。上述推理过程不适用于最后一项EAε2，但可以通过将柱子受压不挠曲时的势能作为零值，来使该项在直柱时为零。因此临界荷载时柱子的势能可表示为:

将Et=Eτ，Gt=Gτ代入式(7)，则：

外荷载势能Uw等于外力与其位移的积的负数。以承受全部荷载但不挠曲的柱作为始点计算Uw，故它仅表示因柱子弯曲和侧向扭转引起的势能的改变。图2为中心受压柱，其1根纤维(图2b)受压力为σdA，势能改变为dUw =-σdAδ，位移δ由两个因素产生：纤维弯曲和纵向压力改变。屈曲时，纤维弯曲引起的位移为δc；纵向应力将有Δσz的改变，使应变有Δσz/Et的改变，则:

对柱子全截面积分可得：

式中：∫AΔσzdA为纵向附加应力在截面上的合力。因外荷载此时没有改变，该合力应为零。因此，得到：

由图3所示的几何关系，推导可得：

式(8)与式(12)之和为：

4 屈曲的微分方程式

势能方程(13)中，U是u,v,β的函数，根据变分规则，当满足下列三个欧拉方程时，U将具有不变值：

以上三个方程是弯扭屈曲联立方程组的最一般形式。每个方程是四阶的，通解包含3×12个常数。

式(14)适用于任何形式的支承情况，可用于铰接、固接和悬臂的柱。也可考虑柱子同一端各个翼缘和腹板的支承条件不同的情况，如工字形梁，其上翼缘和腹板完全受约束，下翼缘在其平面内可以自由转动。一般来说，与u,v,β及其导数无冲突的边界条件是允许的。

5 扭转屈曲

对于具有两个对称轴或对称点的截面，剪力中心与形心重合，将x0=0，y0=0代入式(14)，得：

假定其端部截面扭转被阻止，即β=0，而端部的每个翼缘在其自身平面内可以自由转动，即翼缘中弯矩为零，这要求端部的曲率等于0，从而得到四个边界条件：

微分方程(15c)和边界条件(16)都是齐次方程，只对某些应力值有非零解，位移为：

式中：C为常数；n为整数。

经本节分析可知，对于剪心与形心重合的双轴对称截面及点对称截面，一般情况下柱子将发生弯曲屈曲而不同时发生扭转，然而发生绕剪心的纯扭转屈曲是可能的。临界应力采用换算长细比kl/rβ求出。对于常用的工字形截面，扭转屈曲不会显著降低临界应力。但对于其他类型的双轴对称截面，如十字形截面，扭转屈曲可能起控制作用。

6 弯扭屈曲

对于具有一个对称轴截面的柱，比如y轴对称，此时x0=0，则式(14)成为：

式(18b) 为在 y 轴方向的微分方程，临界应力为：

式(18a)和式(18c)包含u,β，不包含v，说明在x方向屈曲时，伴随着扭转发生，这时通常的弯曲屈曲理论是不适用的。铰接柱且端部不发生扭转，边界条件为：

联立方程式(18a)和式(18c)，其通解有8个任意常数，由上述边界条件可以证明6个为零。解的形式为：

解微分方程可得临界应力σ为屈曲成半波时，即n=1时的数值：

式中：re为换算回转半径。

比较式(22)与式(19)可知，弯扭屈曲的临界应力σxβ等于具有长细比l/re的柱按弯曲理论得出的临界应力，这一点在弹性和非弹性范围均适用。

一般来说，对于单轴对称截面，由于re永远小于ry和rβ，因此沿x轴方向只能发生弯扭屈曲。沿y轴方向可能发生弯曲屈曲。因此该类杆件的屈曲由re和rx确定，哪个方向的回转半径小，或者更准确地说换算长细比大，沿哪个方向屈曲。

对于等肢角钢，整体屈曲和局部屈曲没有理论上的分界线，即角钢截面的弯扭屈曲也可以看成是单肢的局部破坏。将角钢单肢作为一边简支(简支于支座)，另一边自由的板，求出其临界应力σc：

由本文算例可知，对于具有一个对称轴的开口截面，长细比l/re的显著增加使弯扭屈曲的可能性大大增加，这使得薄的角钢和T形截面的承载力下降很多。对于单角钢，弯扭屈曲与外伸肢的局部屈曲是相同现象，如果单角钢能抵御局部屈曲，就自动保证其能抵御整体弯扭屈曲。

7 GB 50017—2017《转自：标准》之扭转屈曲

7.1 双轴对称截面

当其抗扭刚度小而弯曲长细比也较小时，可能发生扭转失稳。扭转失稳可理解为绕z轴的扭转失稳，此时z轴不动。

由本文第5节分析可知，扭转屈曲的公式适用于弹性区和非弹性区，其临界应力与长细比λz=l/rβ的弯曲屈曲的临界应力相等。因此，17钢标利用了这个概念，将扭转屈曲的临界应力问题转化为弯曲屈曲的临界应力问题，由换算长细比λz按17钢标公式(7.2.1)求解。

7.2 双轴对称十字形截面

对于双轴对称十字形截面，17钢标指出当截面板件宽厚比不超过15εk时，可不计算扭转屈曲。

对于十字形截面的短柱，当板件宽厚比大于15εk时，仍有可能出现扭转屈曲先于弯曲屈曲发生的情况。

7.3 双轴对称工字形或 H 形截面

由于板件厚度较大，自由扭转刚度GIt也比较大，失稳通常是绕弱轴的弯曲失稳。

对于双轴对称十字形截面，由于扇性惯性矩Iw等于零，使得其扭转长细比λz与长度无关lw。这样，在长度较小时，λy将小于λz而发生扭转屈曲。这时只要保证板件不发生局部屈曲，就可以防止整体扭转屈曲，见7.2节的讨论。

闭口截面如圆管和方管，由于其自由扭转刚度GIt很大，It通常比工字形截面大50倍左右，因而不会发生扭转屈曲。

冷弯Z形截面，或两根冷弯槽钢组成的工字形截面，因其壁薄，抗扭刚度低，应考虑扭转屈曲。此时，可按17钢标扭转屈曲的公式(7.2.2-3)计算换算长细比。

8 17钢标之弯扭屈曲

8.1 对于单轴对称截面

由于弯心和剪心不重合，当沿对称轴y弯曲时，将产生绕z轴的扭转，因而这种屈曲称为弯扭屈曲。

17钢标将求解弯扭屈曲的临界应力问题转化为求解弯曲屈曲的临界应力问题，由换算长细比λyz按17钢标公式(7.2.1)求解。

8.2 等边单角钢

陈绍蕃的研究表明，等边单角钢在轴压下总是发生绕非对称轴(弱轴)的弯曲屈曲。故此，17钢标指出对于等边单角钢可不计算弯扭屈曲。

8.3 双角钢

对于双角钢组合T形截面，简化方法为对ix，iy，ys，It取近似值。对于等边双角钢，ix=0.305b，iy=0.441b，ys=0.236b。λz=3.9b/t，即为单边对称T形截面绕剪心的回转半径得到的长细比。

轴压杆件的屈曲是稳定设计的基础，其中的弯曲屈曲是稳定设计的灵魂，而弯扭屈曲是对其的重要补充。对于弯曲屈曲，各国规范通常采用考虑初始缺陷的方法进行弹性和非弹性区域的临界力承载力设计；而对于弯扭屈曲，为方便应用，通常采用等效长细比的方法，将弯扭屈曲按弯曲屈曲考虑，求解弹性和非弹性区的临界力进行设计。这种方法虽然不直接，但行之有效。

本文在全面梳理轴压杆弯扭屈曲临界力分析理论的基础上，结合17钢标轴压杆弯曲屈曲的设计方法，介绍了其弯扭屈曲的设计思路和设计方法，可供设计人员学习和应用时参考。

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