结构稳定极限承载力分析，第二类极值点失稳问题

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结构稳定问题主要分两类，第一类稳定问题是平衡分支失稳问题，第二类稳定问题是极值点失稳问题，也称稳定极限承载力问题。

第一类平衡分支失稳问题是指结构在荷载作用下能够维持连续的平衡状态，如下图1-1，当承受的荷载增加到一定的临界荷载A点时，平衡状态出现分支，结构由原来的平衡状态B’点跳转向新的平衡状态B点，对应的临界荷载称为屈曲荷载，按照线弹性稳定理论进行特征值屈曲分析得到的特征值，即为线性屈曲因子，其值为屈曲荷载与设计荷载之比值。

图1-1 第一类平衡分支失稳问题

这类结构稳定问题也是阿扯上一篇博文《结构稳定性分析》全篇幅在探讨的结构稳定问题，其预测一个理想弹性结构的理论屈曲荷载，无法反映材料强度变化对结构弹性稳定的影响，属于结构稳定问题的上限值。

第二类极值点失稳问题（稳定极限承载力问题）是指结构在荷载作用下保持平衡，随着荷载的增加其变形不断增加，结构保持平衡状态，当荷载增加到一定的临界荷载A点时，即使荷载不再增加，结构变形仍继续增大直至破坏，对应的临界荷载称为极限荷载。通常采用极限荷载系数来评判结构的稳定极限承载力，按照非线性理论计算得到的极限荷载系数为极限荷载与设计荷载的比值。

图1-2 第二类极值点失稳问题

今天阿扯想跟伙伴们一起讨论一下第二类极值点失稳问题（稳定极限承载力问题），主要交流以下三个部分：①结构整体稳定极限承载力分析；②中震作用下穿层柱稳定承载力分析；③大震作用下穿层墙平面外稳定承载力分析。

结构整体稳定极限承载力分析

对于质量轻、刚度柔、体型复杂的大跨空间钢结构，结构整体稳定问题尤为敏感，除了通过特征值屈曲分析验证第一类稳定问题，更重要的是还应进行非线性屈曲分析，把结构受力性能作为一个完整过程来考虑，用图形描绘出控制节点处全过程的位移与对应的所加载荷的关系，即荷载-位移全过程曲线，以确定结构稳定极限承载力。

根据《空间网格结构技术规程》第4.3.2~4.3.4条，大跨空间钢结构宜按考虑几何非线性的有限元法（即荷载–位移全过程分析）进行计算，并应考虑初始几何缺陷的影响，分析中可假定材料为弹性，也可考虑材料的弹塑性，对于大型和形状复杂的网壳结构宜采用考虑材料弹塑性的全过程分析方法。全过程分析求得的第一个临界点处的荷载值作为网壳的稳定极限承载力，当按弹塑性全过程分析（几何+材料双重非线性屈曲分析）时，安全系数K可取为2.0，当按弹性全过程分析时（几何非线性屈曲分析），安全系数K可取为4.2。

下面阿扯先举例去年完成设计的单层网壳结构的穹顶天窗，运用SAP2000进行竖向荷载（1.0D+1.0L）作用下结构整体稳定极限承载力分析，并对比特征值屈曲分析、几何非线性屈曲分析及几何+材料双重非线性屈曲分析这三种分析方法的结果差异（非线性屈曲分析均考虑初始几何缺陷）。

图2-1 穹顶天窗

图2-2 SAP2000模型

（青杆为幕墙檩条，两端铰接并忽略其轴向刚度）

图2-4为穹顶天窗在竖向荷载（1.0D+1.0L）作用下特征值屈曲分析（第一类稳定问题）的最低阶屈曲模态变形云图，特征值屈曲分析计算参数设置如图2-3。

图2-3 特征值屈曲分析计算参数设置

图2-4 最低阶屈曲模态变形云图

（线性屈曲因子为9.47）

图2-7为穹顶天窗在竖向荷载（1.0D+1.0L）作用下几何非线性屈曲分析（第二类稳定问题）的逐步加载结构变形图。

初始几何缺陷分布参考《空间网格结构技术规程》第4.3.3条，即采用“一致缺陷模态法”将结构的最低阶屈曲模态（特征值屈曲分析）作为初始几何缺陷分布状态，其缺陷最大计算值可按网壳跨度的1/300取值（穹顶天窗计算跨度25m，故缺陷最大计算值取80mm），随即求得初始缺陷最大值与屈曲向量（UX 、UY 、UZ）中最大值的比值，所有屈曲向量乘以该比值，得到结构各节点的初始缺陷，最后把计算后的初始缺陷与原对应节点的坐标求和，得到新的节点坐标，以此形成新的结构模型。初始几何缺陷计算参数设置如图2-5，另非线性屈曲分析计算参数设置如图2-6（省略参数解析）。

图2-5 初始几何缺陷计算参数设置

图2-6 非线性屈曲分析计算参数设置

图2-7 逐步加载结构变形图

根据图2-8得知极限荷载为3906kN，另在竖向荷载（1.0D+1.0L）作用下支座总轴向反力为891kN，故结构稳定极限荷载系数为3906/891=4.38，满足《空间网格结构技术规程》第4.3.4条几何非线性屈曲分析的极限荷载系数4.2的限值规定。

图2-8 荷载-位移曲线（极限荷载为3906kN）

图2-9为穹顶天窗在竖向荷载（1.0D+1.0L）作用下几何+材料双重非线性屈曲分析（第二类稳定问题）的逐步加载结构变形图。初始几何缺陷分布与非线性屈曲分析计算参数参考上述方法，钢材本构关系采用双线性弹塑性模型。

图2-9 逐步加载结构变形图

根据图2-10得知极限荷载为2578kN，另在竖向荷载（1.0D+1.0L）作用下支座总轴向反力为891kN，故结构稳定极限荷载系数为2578/891=2.89，满足《空间网格结构技术规程》第4.3.4条几何+材料双重非线性屈曲分析的极限荷载系数2.0的限值规定。

图2-10 荷载-位移曲线（极限荷载为2578kN）

综合分析下表数据，对于此单层网壳结构的穹顶天窗，特征值屈曲分析极限荷载是几何非线性屈曲分析的2.16倍，更是几何+材料双重非线性屈曲分析的3.27倍，根据《空间网格结构技术规程》第4.3.2~4.3.4条，几何非线性屈曲分析的极限荷载系数限值为4.2，几何+材料双重非线性屈曲分析的极限荷载系数限值为2.0，故决不得将特征值屈曲分析替代非线性分析进行结构整体稳定极限承载力分析，否则将引起大跨空间钢结构安全问题，特征值屈曲分析结果仅可作为初始几何缺陷分布进行非线性屈曲分析。

前几周施工现场陆续发来这个穹顶天窗施工过程航拍图，如图2-11、图2-12。

图2-11 施工现场图1

图2-12 施工现场图2

以上通过举例单层网壳结构的穹顶天窗说明竖向荷载作用下结构整体稳定极限承载力分析方法，下面阿扯再举例一个也是去年完成设计的250m超高层办公楼的空间钢桁架塔冠（腹杆两端铰接），运用SAP2000进行风荷载（1.0D+1.0WX）作用下结构整体稳定极限承载力分析（Pushover分析），50年重现期基本风压为0.75kN/m²，地面粗糙度类别为C类，体型系数为1.4，塔冠正负风压值取规范风荷载与风洞试验结果的包络值（正风压2.20kN/m²，负风压1.40kN/m²）。

图2-13 SAP2000模型

（以下仅列举+X向风计算结果）

图2-16为塔冠在风荷载（1.0D+1.0WX）作用下Pushover分析（第二类稳定问题）的逐步加载结构变形图。

初始几何缺陷原理与参数设置参考上述说明，塔冠计算高度12m，故缺陷最大计算值取40mm。Pushover分析计算参数设置如图2-15（省略参数解析）。因本章节研究水平荷载作用下结构整体稳定极限承载力分析，即研究恒定竖向荷载（1.0D）作用下，逐步加载水平荷载（1.0WX）至结构失稳时的极限荷载，故Pushover分析计算参数设置中“初始条件”点选“接力非线性工况（当前工况继承前置工况中施加的荷载）”，其中“非线性工况”施加荷载取该恒定竖向荷载（1.0D），如图2-14。钢材本构关系采用双线性弹塑性模型。

图2-14 “初始条件”的“非线性工况”参数设置

图2-15 Pushover分析计算参数设置

图2-16 逐步加载结构变形图

（局部构件出铰导致空间钢桁架形成机构）

根据图2-17得知极限荷载为7950kN（从逐步加载结构变形图中可看出局部构件出铰导致空间钢桁架形成机构），另在风荷载（1.0D+1.0WX）作用下支座X向基底剪力为1877kN，故结构稳定极限荷载系数为7950/1877=4.24，满足《空间网格结构技术规程》第4.3.4条考虑几何+材料双重非线性屈曲分析的极限荷载系数2.0的限值规定。

图2-17 荷载-位移曲线（极限荷载为7950kN）

至于钢筋混凝土多高层结构，甚至超高层结构，其对结构整体稳定问题基本不起控制性作用，结构刚重比或线性屈曲因子（第一类稳定问题）较容易满足规范限值（如弯曲型结构的线性屈曲因子≥10或刚重比≥1.4），且控制刚重比或线性屈曲因子在规范限值以内即可保证足够的结构整体稳定承载力，因此钢筋混凝土多高层结构一般无需补充风荷载或地震作用下结构整体稳定极限承载力分析。

图2-18 超高层办公楼

但今天我们还是通过举例一个250m超高层办公楼（抗震设防烈度为7度0.10g，场地类别为Ⅱ类，设计地震分组为第一组，50年重现期基本风压为0.75kN/m²，地面粗糙度类别为C类，体型系数为1.4），运用Perform-3D分别在风荷载和地震作用下进行结构整体稳定极限承载力分析，一则说明水平荷载（地震作用与风荷载）作用下高层结构整体稳定极限承载力分析方法（分析方法可应用于风荷载作用下结构整体稳定极限承载力相对较低的多高层钢结构），二则坐实钢筋混凝土多高层结构在水平荷载（地震作用与风荷载）作用下其整体稳定承载力安全系数较高的结论。（Perform-3D模型中局部大开洞楼层楼板采用弹性膜以真实模拟穿层柱/墙对结构整体稳定极限承载力的影响）

图2-19 Perform-3D模型

水平地震侧向荷载模式采用考虑高阶振型的规定水平力分布形式，风荷载侧向荷载模式采用规范风荷载分布形式，如图2-20。

图2-20 侧向荷载模式

图2-21分别为超高层结构在规定水平力分布形式侧向荷载作用下Pushover分析的逐步加载结构构件性能状态图（规范风荷载分布形式时的结构构件性能状态图基本与之相似）。

图2-21 逐步加载结构构件性能状态图

根据图2-22得知规范风荷载分布形式侧向荷载作用下的极限荷载为110000kN，另在规范风荷载作用下结构Y向基底剪力为26842kN（YJK计算结果，50年重现期基本风压为0.75kN/m²），故结构稳定极限荷载系数为110000/26842=4.10，通过YJK反算求得结构整体稳定极限承载力所对应的风压约为3.1kN/m²。

图2-22 荷载-位移曲线（极限荷载为110000kN）

根据图2-23得知规定水平力分布形式侧向荷载作用下的极限荷载为126000kN（以结构整体稳定极限承载力所对应的点作为性能点反算需求谱，原抗震设防烈度为7度0.10g，场地类别为Ⅱ类，设计地震分组为第一组），通过能力谱法反算求得结构整体稳定极限承载力所对应的需求谱地震影响系数最大值约为1.0（最大地震加速度约为0.45g），略大于7度极罕遇地震影响系数最大值0.90（8度罕遇地震），可以达到极罕遇地震不倒的抗震性能水准，能力–需求曲线如图2-24。

图2-23 荷载-位移曲线（极限荷载为126000kN）

图2-24 能力-需求曲线

中震作用下

穿层柱稳定承载力分析

阿扯上一篇博文《结构稳定性分析》的“框架柱稳定性分析”章节主要探讨通过特征值屈曲分析计算穿层柱临界荷载，并根据欧拉公式反推算穿层柱计算长度系数μ。深圳某超限专家说：“第一类稳定问题分析结果仅仅是结构稳定性问题的上限解，应补充中震作用下穿层柱稳定承载力分析（正截面中震不屈服）。”下面阿扯进行中震作用下穿层柱稳定承载力分析，其中穿层柱为的圆钢管混凝土叠合柱（圆钢管，混凝土强度等级C60），柱截面配筋如图3-1，首层通高结构稳定极限承载力分析，第二类极值点失稳问题，中震作用下柱底轴力标准值,绕X向弯矩标准值，绕Y向弯矩标准值。

图3-1 穿层柱截面配筋图

1）穿层柱计算长度：

参考上一篇博文《结构稳定性分析》的特征值屈曲分析方法，求得穿层柱临界荷载，继而求得穿层柱计算长度（规范值），故穿层柱计算长度，最后求得。

2）穿层柱稳定系数：

构件长细比

查阅《混凝土结构设计规范》表6.2.15（钢筋混凝土轴心受压构件的稳定系数），得。

3）正截面受压承载力：

式中：

——混凝土抗压强度标准值、钢筋抗压强度标准值、型钢强度标准值；

——混凝土截面面积、钢筋截面面积、型钢截面面积。

故穿层柱正截面受压承载力满足规范要求（以上未考虑圆钢管内约束混凝土抗压强度的提高，圆钢管内约束混凝土抗压强度可参考规范圆钢管混凝土柱算法或Mander约束混凝土算法）。

4）构件初始缺陷引起的附加弯矩

构件截面界限破坏时，混凝土受压区边缘应变值，并考虑长期荷载作用下混凝土徐变应变增大，乘以增大系数1.25，钢筋应变值，可得构件截面的界限曲率为

偏心距：

附加弯矩：

5）构件截面分析：

构件截面分析时补充考虑构件初始缺陷引起的附加弯矩之后的构件内力值。

通过截面分析软件XTRACT计算P-M-M曲线如图3-2：

图3-2 穿层柱P-M-M曲线

以上内力点均在屈服面以内，故中震作用下穿层柱稳定承载力满足规范要求（以上计算未考虑圆钢管内约束混凝土抗压强度的提高，圆钢管内约束混凝土抗压强度可参考规范圆钢管混凝土柱算法或Mander约束混凝土算法）。

大震作用下

穿层墙平面外稳定承载力分析

时隔两年，去年又遇到深圳那位超限专家说：“第一类稳定问题分析结果仅仅是结构稳定性问题的上限解，应补充大震作用下穿层墙平面外稳定承载力分析（核心筒底部加强区穿层墙，正截面大震不屈服）。”但阿扯上一篇博文《结构稳定性分析》的“剪力墙稳定性分析”章节主要探讨通过特征值屈曲分析计算穿层墙临界荷载与屈曲因子，属于第一类稳定问题。下面阿扯进行大震作用下穿层墙稳定承载力分析，其中穿层墙为型钢混凝土墙（墙体角部为十字型钢，Q355，混凝土强度等级C60），墙截面尺寸如图4-1，首层通高，大震作用下墙底轴力标准值,绕X向弯矩标准值（平面外弯矩）。