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拓扑优化技术在飞行器设计、机械工程等工业领域已经得到广泛的运用，但在岩土工程中可供借鉴的经验还较少，目前不少学者在试图将拓扑优化技术应用于岩土工程设计。本文以目前应用较普遍的SIMP方法（Solid Isotropic Material with Penalization）的岩土工程优化案例来阐述拓扑优化理论的适用性，并对拓扑优化方法在岩土工程中应用的局限性和前景进行讨论。
用岩土工程的思维表达优化问题
结构优化主要分为三种形式：拓扑优化、形状优化和尺寸优化，岩土工程中大部分的结构优化都属于这三类。拓扑学这个名词来源于希腊语术语l’ogos（教学）和t’opos（位置），它是一种用几何的形式来描述结构的数学方法。下面以一个边坡挡墙的设计案例来说明什么是岩土工程中的“优化”。
拓扑优化：图1a为一个岩土工程中常遇的挡土问题。为了保证边坡稳定。图1b、1c、1d示意了三种支挡方案。三种解决方案中，用黑色所代表的强度较高材料的分布区域和整个结构的受力方式各不相同。1b为重力式挡土墙，1b为单层锚杆挡墙，1d为双层锚杆挡墙。
(1a)问题描述：如何保证边坡稳定？
(1b)重力式挡土墙
（1c）单层锚杆挡墙
（1d）双层锚杆挡墙
形状优化：我们选取图1d中的双层锚杆挡墙为研究对象。在这种情况下，以挡板的最大挠度作为优化目标。图2b,2c,2d显示了优化后的三个备选方案，为了使优化后的结构更加经济，可以改变锚杆的位置（图2b）、锚杆的倾斜度（图2c）和锚杆的长度（图2d）。
（2a）问题描述：如何让双层锚杆挡墙更经济？
（2b）改变锚杆的位置
（2c）改变锚杆的角度
（2d）改变锚杆的长度
尺寸优化：挡墙的解决方案如下图所示，尺寸优化所需要考虑的是对挡板截面尺寸、锚杆直径和锚固段长度进行优化。
（3）尺寸优化需要考虑的问题
SIMP法
SIMP法（Solid Isotropic Material with Penalization）是目前拓扑优化使用较为广泛的一种优化方法。其为固体各向同性材料惩罚模型，是一种密度-刚度插值模型。
解决实际岩土工程问题目前遇到的难点
当运用较为普遍的SIMP法解决一般的结构优化问题时，通常假设设计区域内的材料为均质材料，但是在岩土工程问题中，至少需要定义两种类型的材料：土和结构受力构件，并且土的物理特性是高度非线性，不能简单地用线弹性或者线性理想弹塑性本构模型进行模拟。
那么要如何运用拓扑优化方法来具体解决岩土工程问题呢？下面我们来看一个例子：
基本案例
对于一个建筑工程基础的岩土问题，通长以基础的沉降及倾斜度作为衡量指标，因此这两个指标也经常作为解决岩土问题的控制条件。下面以一个条形基础为例来进行拓扑优化，目标函数如公式所示。
通过这个例子，我们可以看到基础沉降量显著减少。基础采用4节点矩形单元进行离散，采用降阶积分和线性化方法。假设基础表面光滑，基础和土为法向接触，在切向上无摩擦。在优化过程中由于土与结构构件之间的接触面无法准确的识别，因此可以不考虑两者接触面上相互作用，假定地基与基础之间不能发生相对滑移。
可以用线性本构模型模拟地基基础，弹性模量E=3.2X10^7kN/m2，泊松比为v=0.2。利用Neununi和Helle以及Von Wurffer-Srordf等人提出的塑性本构模型模拟土和基础构件，模型的材料参数列于表2中。软性材料的转换参数对应土的参数，而刚性材料转换参数对应基础结构的参数。
条形基础的初始尺寸为2m宽，1m深，（图3），点荷载P=500kN，由于没有运用系统的对称性，因此优化的结果可以反过来验证其合理性。
本案例中设置了体积为2%优化条件。设计区域被定义为基础正下方20X14m的区域，设计区域被分割成0.1mX0.1m的小单元。
(3)案例基础模型
图4a-4d展示了材料体积为设计域2%时基础构件的不同演化状态。在第一步（图4a）中，材料在现有的条形基础下压实并置于压力泡中。15次迭代后的演化状态如图4b所示，该材料直接在条形基础下压实，并在基座边缘处形成竖直向下延伸的结构。弹性半空间体非弹性地基的理论解导致地基边缘下出现应力峰值，在该区域优化算法提高了材料的相对密度。图4c显示了50次迭代后地基结构的拓扑结构，改结果与15次迭代后的结果相差不大。在500次迭代之后，条形基础边缘处的材料压实清楚地显示出来。大部分基础材料分布在沿着基础边缘竖直向下，这样应力峰值会转移到更深层。
（4a）
（4b）
（4c）
（4d）
图5显示了地基的沉降，原设计没优化前（图5a）的基础沉降约4.4厘米。图5b显示了优化后的基础沉降，条形基础下达到2.4cm沉降的区域达到48%。
（5）地基沉降
通过不同的优化运算，可以估计出所用材料体积和最小可能沉降之间的关系，图6绘制了这种相关性。由于假设该优化方法达到全局最优，图6中的点与最小沉降和最小体积准则的优化的EDGEWORTH-PARETO集相匹配，参见[1]。这套标准的特点是，在不损害其他标准的情况下，任何标准都无法改进，在这个例子中，一个点的沉降量不能在不改变该点体积的情况下得到改善。EDGEWORTH-PARETO集的每一个点都是最优的。对于基础的某个沉降量，地基的最小体积可以从图5中得到。
（6）材料体积-沉降关系图
虽然拓扑优化可以有效指导岩土工程设计，但按理论优化后的结构形式对现行的施工方法提出了很高的要求。在不考虑结构实用性的情况下，优化算法生成结构的几何形状如果精确来模拟建造，这可能意味着巨大的成本，有时甚至不可实施。因此，在岩土工程中应用拓扑优化要选择合适的施工方法和材料。喷射注浆法就是一个很好选择方案，这种施工方法使水泥浆渗入土中使土粒胶结变硬，形成致密的喷射注浆体，可以实现几乎所有可选的几何图形。应用拓扑优化设计的另一种思路是调整优化设计的深度来适应现有的施工方法，图7中给出了一个示例。这种方案不是为了获得全局最优的结构方案，而只是用来辅助认识和理解复杂受力下的力流，然后据此设计一个切实可行的结构方案。当然了，这种策略并没有充分利用优化方法的潜力。
(7)
小结
结构拓扑优化在岩土工程中的适用性在本文中得以证明，运用结构拓扑优化可以解释经典土力学理论。这些优化结果在一定程度上是可以被实现的，比如应用喷射注浆法，但仍需进一步研究拓展优化结果的应用领域，相信拓扑优化在未来将会给岩土工程的优化设计发展带来积极影响。
the end
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参考资料
[1]A 199-line Matlab caode for Pareto-optimal
tracing in topology optimization
[2]Structural optimization in geotechnical
engineering – basics and application
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