形是力的图解

文/ 周健，李彦鹏，顾乐明，彭超，杨笑天

如何确定合理的建筑形态？这是建筑技术历史上一直被提起的问题。

自从人类开始建造房屋，对合理形态的探索就不曾终止。在力学和计算科学都不发达的时代，工程师就尝试通过实验方法探索力学与形态的关系：1747年乔瓦尼·波黎尼（Giovanni Poleni）将32个不同重量的球悬垂在绳索上，产生与实际拱形比例近似的悬链线，再以之作为参考线，根据“当给定荷载的推力线完全位于拱的剖面上时则拱稳定”的力学理论，成功矫正和修复了圣彼得大教堂（Saint Peter’s Basilica）穹顶^[1]（图1）。随着力学和建造科学的发展，工程师通过不断的尝试，改良优化出了结构性能更高的各种结构形式：19世纪中叶正值美国西部大开发，对铁路桥梁的需求急速增加，当时普遍采用木拱桥和增强钢架结合的形式，而经过多次实践后工程师发现，只要把增强钢架做得足够坚固甚至可以省去拱结构，于是各种新式的桁架纷纷出现，梁桁架的时代也从此开始（图2）。当对静力学理论的研究足够深入后，工程师发明了图解静力学，将结构受力与建筑形态联系起来：1889年莫里斯·克什兰（Maurice Koechlin）便利用图解静力学方法，根据不同高度的风荷载设计了埃菲尔铁塔的折线形态（图3）。

图3 从拱桥到平行弦桁架的演变来源于cn.bing.com

随着现代主义建筑的发展，多米诺体系让结构与空间变得各自独立、互不干涉，从而使建筑师能够自由发挥空间畅享。此时结构与建筑形态变成“骨”与“皮”，结构适应于这种潮流发展出了诸多体系清晰、方便计算、可规模化建造的“范式”供建筑选择，如我们今天熟知的框架结构、剪力墙结构、框架核心筒结构等。建筑形态变得更加自由，不需要过多考虑结构合理性以及其中的力学规律，只要结合建筑形态套用“范式”，就可以形成一个个漂亮的“玻璃盒子”。显然这种建筑理论和标准化设计流程适应于工业化社会利益最大化的需要，因此即便在现在也处于主流地位。

然而在当今社会，“皮骨分离”的范式越来越无法满足多元化的社会需求，结构标准类型也不足以支撑越来越多样化的新建筑空间形态，因而建筑师开始尝试突破原有的范式，将自由曲面、最小曲面、泰森多边形等形态应用于实际项目。然而，很多项目的实际建成效果却和设计方案大相径庭，这主要是由于建筑效果非常依赖于形态结构合理性，不合理的形态会使得结构截面超厚，施工困难，造价失控。因而，建筑师和工程师逐渐开始重新审视结构与形态的关系。

“形”反映力流传递——力流方向1

力的传递如同水的流动，结构的使命在于将外力安全平稳地传递到支座。在给定的结构布置以及边界条件下力流路径是客观的，因此工程师的设计艺术体现在规划出清晰、简洁以及高效的传力路径，同时使得力流的图解被建筑师欣然接受。

我们通常用应力迹线（简称力线）表示力流的路径，力线的疏密代表力流密度，即应力的大小。力流最重要的特征是：优先走刚度较大的路径，力流路径越短，构件累积变形就越小，从而刚度越高。所以我们追求尽可能短的力流路径，也就是所谓的“直接传力”。比如图4，目标是将4层楼面荷载传递至基础。常规的框架传力路径为梁—柱，悬挑框架则为梁—吊柱—柱（楼面悬挑抗弯刚度较弱时），如果用“力×力流距离”去衡量这两个结构的效率，则悬挑框架由于传力路径曲折，因此效率偏低。当然，纯理性层面的合理只是衡量建筑表现的一个方面，我们追求“美在合理的近旁”。

图4 常规框架结构与悬挑框架结构力流

力流是力的一种客观的可量化表达，可作为推演建筑形态的操作依据，同时能够直观呈现传力路径。以一个最简单的简支混凝土梁为例（图5），当跨中作用一个或三个集中力F时，在离散化主要的拉压力流路径后，我们可以直观地理解工程中钢筋的布置逻辑（主拉应力位置）。原本混沌的混凝土梁可以通过杆系结构来具象化力流，由此衍生出系杆拱或桁架的结构形式，高效的同时也为设计提供了多样化的选择。除了生成理性的结构形态，力流的疏密与结构以及建筑的表达也有着一定的因果关系。在马德里赛马场项目中，对于14m的悬挑看台，基于给定的支座条件，可以得到壳体的主力线，依据力线的方向以及疏密关系确定钢筋的排布以及间距（图6），可谓“好钢用在刀刃上”；在伞形结构中，主结构顺应板壳力线，合理高效的同时也获得了秩序的表达（图7）。

图5 混凝土梁内的力流离散

图6 壳体应力与钢筋排布

图7 伞形结构的应力迹线与结构布置

除了指导钢筋布置、生成理性的结构形态之外，力流的疏密对建筑功能逻辑也有着一定的暗示。以某个混凝土壳体项目为例，结构跨度约35m，波峰矢高约4.5m，波谷矢高约2.5m，壳体下方为地下一层篮球场，为满足观演需求，壳体没有落地，而是依靠两侧四对斜柱支撑。斜柱与壳体的相对刚度关系决定着拱的结构效率，此时结构效率与建筑外观（斜柱的大小）有着微妙的博弈。在完成基本的合理形态找形后，建筑师希望在壳体表面开天窗。开在哪里既能满足功能需求、呈现适宜的比例关系，又不影响壳体的受力性能成为值得讨论的话题。依据给定的边界条件计算出主力线后，能直观的感受到力流往四个斜柱处汇集。相较以往结构师与建筑师通过计算数据和结构概念进行沟通交流，此时图像化的力流成为了更有效的交流工具，天窗被设置在力线较为稀疏的位置（图8）。此时力学与美学相辅相成、完美融合。

图8 基于壳体力流的开窗逻辑

以上都是基于既有力流作出的合理回应，然而若能人为的操纵力流，从而打造丰富的建筑空间效果，则更能体现结构技术与艺术的结合。树形柱就是很好的案例，传统的梁柱结构竖向荷载通过梁柱节点传递到柱头后会急转90°向下传递，若将力流想象成水流我们容易感知柱头处的“湍急”；而树形柱可以通过离散的策略，规划出多组渐变的力流路径疏解集中应力，通过合理找形使得树杈杆件中为轴力而非低效的弯矩，小尺度的构件使得整个建筑的内部空间简洁而精致（图9）。

“形”反映内力分布——内力图解2

通常转自：建筑结构-公众号可以看成由一个个构件组装而成，也可以认为是从一个巨大的构件中掏空而成，两者是辩证的关系。转自：建筑结构-公众号是三维的，构件是二维的，材料是一维的。两种思考方式一个是升维逻辑，一个是降维逻辑。

工程中对于材料的认知主要停留在一维的阶段。对于结构验算，结构工程师倾向于将结构看成由构件组装而成，所有的结构验算都是将非常复杂的问题降维，直至钢材的单向受拉承载力、混凝土的单向受压承载力。而如果换成升维思路，将结构看作巨大的构件，就会发现很多有趣的现象，即很多结构的形态符合二维构件内力图。

构件的内力图直观反映了结构需求的大小，若结构的外形与内力图统一，则符合自然规律。如福斯铁道桥，可以看成是一根跨越海峡的结构梁，其主跨519m，由两个206m的伸臂加上107m的悬跨组成，结构体系为桁架。伸臂跨的特点是桥墩处的结构高度很高，悬跨的特点是与伸臂跨连接处高度最低，中部稍高。由施工顺序可知，在悬跨和伸臂跨之间接近铰接，桁架的高度与弯矩图高度匹配。事实上，当时为了说明这个桥的受力体系，设计师做了一个真人试验进行演示（图10）。现代桥梁也在进行着弯矩图的演绎：Ney设计的Knokke Footbridge将人行桥的造型完美契合了弯矩图，桥侧面的剪影也成为风景的一部分（图11）。

图10 福斯铁道桥照片来源于John Fowler、Benjamin Baker

图11 Knokke Footbridge照片来源于 www.archcollege.com

除了桥梁，在外露的屋面结构形态中也可以看见弯矩图。旧金山机场屋盖采用连续桁架，在中间跨约1/4处上下弦杆交为一点，桁架高度与弯矩图高度一致（图12）。

图12 旧金山机场屋盖照片来源于 cn.bing.com

滑铁卢国际车站屋盖则是借助弯矩图发展出形态的典型范例（图13）。车站共有5条轨道，其中一条轨道由于运营要求被放到最左侧，因此左侧屋面迅速抬升，且左侧屋面下部结构高度受限。最终火车站屋盖的形式确定为一侧陡然升起、一侧较为平缓的三铰拱。这种非对称三铰拱在重力荷载作用下，在两侧分别产生了上、下两个不同方向的弯矩，拉索形态即反应了结构弯矩图。整个屋顶的造型既与内部的使用功能高度统一，又实现了材料的优化布置，同时借助非对称的结构形态活跃了建筑形象。

图13 滑铁卢国际车站屋盖照片来源于 www.archcollege.com

虹桥机场T1航站楼改造的出发厅屋盖是一个中小尺度的案例（图14）。24.5m的屋盖跨度和12m的雨篷悬挑，实腹梁跨越能力已足够，但出发大厅的建筑尺度不大，梁柱体系无法带来轻巧的结构，达不到建筑师希望的钢结构外露、轻盈精致的视觉效果。通过将实腹梁格构化，消解了梁截面的弯矩需求，采用弯矩较小的轴力构件，进一步增强钢结构的表现力。最终呈现的效果体现了建筑与结构的完美融合。

图14 虹桥机场 T1航站楼照片来源于 www.sensorimages.net

“形”反映形态抵抗——形态抵抗3

形与力相结合的数理形态，广泛存在于自然界中（图15）。比如，森林中悬垂的藤蔓、粘着露水的蛛丝，以及人类建造的吊桥和输电线。值得说明的是，合理的曲线形态与荷载有关。在沿跨度投影方向均布的竖向荷载作用下，形成的合理形状是二次抛物线；当荷载沿着构件单元长度均布时，形成的合理曲线是悬链线；当均布荷载沿曲线法线方向布置时，形成的合理形状则是圆弧（类似肥皂泡）。

图15 不同荷载作用下的最优曲线 照片来源于 www.wikiwand.com

悬链线可以精确地用数学上的双曲余弦函数表达，其标准方程为：y=a cos(x/a)+b。它同样也广泛应用于转自：建筑结构-公众号领域。比如，高迪用逆吊法找形的圣家大教堂和巴特由之家悬链、卡皮拉诺吊桥(Capilano Suspension Bridge) 、里斯本世博会葡萄牙馆、以及杰斐逊纪念拱门(Gateway Arch)（图16）等。

图16 杰斐逊纪念拱门悬链形轮廓

类似吊桥的悬链形结构，其锚固支座承受拉力，而倒置的悬链拱结构，其拱脚支座承受推力。在悬链长度相同(自重荷载相同)的条件下，悬链线的垂度(矢高)越小，即曲线越平缓，支座的反力(水平拉力或推力)越大（图17），这往往是工程设计的关键点。

图17 悬链结构的锚固方式

以杭州世纪中心为例（图18），建筑由2幢高约310m的塔楼和商业裙楼组成，双塔之间的天幕结构巧妙地设计为柔性悬链形式，使得双塔作为天幕牢固支承点的同时，在地震下又不会产生相互拉扯影响。在正常使用状态下，天幕结构主要承受恒荷载，玻璃表皮和结构自重均沿构件长度均匀分布，符合悬链线的理想荷载分布。悬链的顶部开口52~87m，最大垂度约73m，是一个大跨度的复杂曲面结构，利用悬链受力高效的原理，结构构件以细小的型钢（HN300×150×6.5×9）实现了简洁通透的视觉效果。对于自由曲面形态的天幕，采用四边形网格的建筑效果更加简洁通透，但往往网格有翘曲问题，全部采用曲面玻璃是不现实、不经济的。因此，将四边形网格平面化、减小玻璃的尺寸规格和种类、协调网格与建筑外观是天幕设计的难点。以四边形平面网格拟合曲面的方法有Parallel-Vectors法、Scale-Trans法等，可用来消除幕墙板块翘曲。在初步设计构件的悬链曲面时，存在四边形玻璃网格不共面的现象，初始网格中翘曲大于2.5mm的网格占比达17.2%，最大翘曲为4.0mm。通过优化曲面以及悬链线纵向切分点，采用Scale-Trans法生成的网格，实现网格绝对平面化，翘曲理论值为零，即可以采用平板玻璃，大幅节省幕墙造价，体现了基于数理的几何曲面优化的强大。

图18 杭州世纪中心天幕悬链线几何逻辑

马鞍面（双曲抛物面）也是建筑中一种常用的形态。其形成过程也较为简单，在XOZ坐标平面上设置一条开口向上的抛物线，在YOZ坐标平面上设置一条开口向下的抛物线（两条抛物线的顶端重合于一点上），而后让第一条抛物线沿另一条抛物线滑动，便形成了马鞍面。其标准方程为：

马鞍面经常被用在索网屋面（图19），在重力荷载作用下，开口向上的受力拉索称为承重索，在上吸风作用下荷载反向，开口向下的受力拉索称为稳定索。两个方向抛物线形拉索在不同方向荷载作用下分别受力，保证结构的安全性和稳定性，因此是一个极为高效的结构。同时马鞍面是直纹曲面（图20），在曲面上任意一点都有两根直线经过这一点，工程师常利用其直纹性降低施工难度。西班牙转自：建筑结构-公众号师菲利克斯·坎德拉(Felix Candela)以双曲混凝土壳著称，在其设计的混凝土壳中经常用到马鞍面，运用马鞍面的直纹性，可以利用竖直的木材搭建壳体模板，大大减少施工成本。

图19 马鞍面双向抛物线应用于索网屋面

图20 马鞍面直纹性应用于混凝土壳

结 语4

本文从力流方向、内力图解、形态抵抗三方面阐述形与力的关系。但需要特别注意的是，形与力的关系一般针对于一种特定的荷载工况，如本文所列案例均针对重力荷载工况，当某类特殊项目为风荷载或地震作用等侧向荷载时，则需要针对多荷载工况进行分析，使形态与复杂受力条件更加契合。

本文抛砖引玉，希望通过对形与力关系的深入了解建立一种科学有效的结构性设计方法，在结构技术与建筑创作中搭建一座实时并行的桥梁，在设计初期整合建筑形态和结构技术，将问题集中于设计初期阶段，以此来节约能源和降低成本，从而设计建造出更轻质、低成本和可持续发展的建筑。