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伪加速度概念提出

众所周知，内力是结构破坏的唯一原因，虽然结构规范也限制层间位移角，但其实是为了控制填充墙及幕墙等非结构构件在大变形下破坏，属于正常使用验算，所以我们结构师最关注的问题是内力。上面我们花了不少篇幅求出了各质点位移，还要研究如何通过这个位移求出内力。我们仍然用下面最简单的单质点来分析：

当质点达到最大位移时，柱中产生的回复力为，这就是我们结构设计所采用的内力。要求最大位移，只要求出在整个时间历程上的位移函数，然后在上面找到最大值就可以了，由于地震波波形非常复杂没有规律，无法写成确定的函数，一般采用数值方法求解。针对某个频率的单自由度体系，我们求出其运动规律之后，就可以得到它的最大位移，从而求出柱子内力f。

而多自由度体系，它每个振型的各质点位移已由前面所述求得，下面要求得出其各柱剪力，第n振型的各质点相对位移，当取时间历程内的最大值时，也达到最大值，有了相对位移最大值，结合多质点体系的刚度矩阵，就可以求出第n振型各柱剪力。这里要注意一个问题，如下图所示:

从三个振型的首层柱剪力的时程曲线可以看出，各振型内力不是同时达到最大值，所以求最大剪力时，不能采用叠加法，应该对每一时刻各振型内力进行叠加，再找出整个时间历程中的最大值。

上述方法为采用相对位移与刚度求内力，一个更直观的思路是利用静力平衡求内力。我们借助惯性力的概念，使，根据，得到，即（为无阻尼体系的圆频率），这里我们假设了一个和内力大小相等的惯性力mA。根据动静法，每个质点在每一时刻内外力与惯性力都是平衡的，在相对位移的最大时刻，相对速度等于0因此阻尼力为0，此时质点仅受到柱子内力与惯性力，则两个力相等，此时A等于这一时刻质点相对于地面的绝对加速度。大家要注意，我们假设的这个A（称之为伪加速度）并不等于振动周期内最大绝对加速度，原因见下图：

在最大位移点处，如前所述，柱子回复力与惯性力平衡，惯性力等于；在质点向原点方向运动的左侧质点处，阻尼力向左，回复力向右，惯性力等于（）；在质点向远离原点方向运动的中间质点处，阻尼力与回复力均向左，惯性力等于（）。根据精确的计算，虽然ku最大值出现在最大位移处，但是ku与总和的最大值出现在向远离原点方向运动，且接近最大位移点的位置，也就是质点最大绝对加速度和伪加速度不是一回事。前面说过，最大绝对加速度和我们关心的内力与位移都没有关系，不需要去研究，在位移最大时，因此我们可以用位移最大时的mA去求结构内力，mA可以直观的理解为作用在结构上的地震力，这样我们根据内力平衡就可以求出内力了，在概念上更符合我们的常规静力观念，易于理解与应用。当我们求出后，只需要利用就可以直接求出对应的伪加速度值了，然后将mA当做外力作用于质点上，这样仅利用静力平衡关系就可以求出柱子内力，见下图所示：

对于多质点体系，前面我们已经将惯性力用向量分解到了各个振型上，对于每个振型来说我们只要简单的将分配到每个质点上质量乘以伪加速度，如上图所示，就可以得到每个质点上的等效静力，从而可以轻易求出该振型各柱的剪力。

反应谱的提出

至此我们就得到了和某个频率对应的某个振型的的地震力的求解方法，其中关键的一步是我们要得到振型常见频率段的单自由度体系的伪加速度。对于一般的转自：建筑结构-公众号来说，周期最长的第一振型不长于6秒，我们可以设定一个较小的时间间隔，比如0.02秒，每隔0.02秒计算出单自由度体系的位移时程，这样周期小于6秒的时间段我们就可以得到300条时程曲线，如下图所示：

左图顶部是我们用于计算地震反应的地震波，左侧把不同高度共300个单质点放在各自的周期点上（注意横坐标是周期而不是时刻），左下方是与每个周期点的单质点对应的位移时程曲线（由地震波作用于各单质点得到），横坐标是时间，纵坐标是相对于中点的位移，其中每条曲线都可以找到一个最大值。然后我们把这300个最大值画在以周期为横坐标，位移最大值为纵坐标的坐标轴上，图形见右上，这种反应周期和某个量的最大值的曲线我们称为谱，相应的这个谱称为位移谱。有了位移谱后，我们再根据这个关系将位移谱上每一点的纵坐标转化为伪加速度A，再将所有的A连成一条直线即得到地震波1的伪加速度谱。以上仅得到了一条波的谱，我们可以收集上千条地震波分别重复上面的过程，则可以得到每条波的伪加速度谱，把它们画在一张图上，然后画出所有曲线的平均值曲线，就得到了规范设计反应谱形状的一条曲线，然后再把此条曲线的纵坐标除以重力加速度，转换为影响系数，就得到了我们GB规范的设计谱。

三自由度地震力求解

现在我们有了每个周期点的伪加速度值，就可以轻松的求出多质点体系每个振型的的总地震力及每个质点的地震力。以前面我们举例的三质点体系为例，我们来求出它的地震力，我们把每个振型上分配的质量与周期重写在下面，并且画出各振型每个质点的等效地震静力：

上图中下标为伪加速度反应谱中的周期点，有了等效静力，可以直接得到每个振型各层内力图如下：

只要我们得到所有振型的内力，就可以进行组合得到设计内力了，但正如前面所讲的，各层柱子内力的最大值不出现在同一时刻，要得到精确的在整个时间历程上的内力最大值，必须要把每一时刻各振型的内力进行叠加，再得到最大值，这样就无法应用伪加速度反应谱了。我们建立反应谱的初衷是为了简化，并具有相当的精确度，对于各振型内力叠加后最可能的内力最大值这样的概率问题，就需要用到概率知识了，规范主要有两种方法，SRSS方法与CQC方法，SRSS是用各振型内力的平方和再开平方，适用于各频率之间相隔较远，就是频率比较稀疏的情况，规范规定是以相邻振型的周期比小于0.85为界，小于界定为稀疏，大于界定为密集，当为密集时需要采用更精确的CQC法了。

参考文献：

1.结构动力学—理论及其在地震工程中的应用（第四版） Anil K. Chopra

2.结构动力学（第二版） R. Clough

来源：结构茶馆。