【转自：Dino结构笔记-公众号】多自由度体系模型时程分析的逐步积分法

【程序下载】程序： MDOF逐步积分法小程序mdof_hist2.rar
【附件下载】附件： MDOF时程分析的学习资料PDF
【附件下载】附件： SAP2000模型及EXCEL表格

上一篇有关于结构动力学的笔记的内容关于采用振型叠加法求解结构在地震波作用下的时程响应，也简称为频域方法，那么对应的就有时域方法，也就是地震动时程分析的逐步积分法，举例来说有Newmark法与Wilson法。

小记：我参考了几本不同的《结构动力学》教材，包括克拉夫《结构动力学》，还有柴田明德的《结构抗震分析》、RoyRCraig.Jr著的《结构动力学》,这三本经典教材，其中克拉夫《结构动力学》太过省略，适全高端读者，而RoyRCraig.Jr著版本，简单略过，柴田明德的公式列得不错，多自由度的例子不多。最后我在香港图书馆找到一本书《Computer-Aided Mechanical Design and Analysis》(V.Ramamurti著)，这本书真的不错，公式列得好的同时，还增加了多自由度的计算实例，程序按这本书的公式编写。

无论是地震动时程分析还是风振时程分析，都有频域法与时域法，频域法速度快，但是不能解决结构变刚度（弹塑性分析）变阻尼（带阻尼器）的情况的结构动力分析（FNA方法除外）。频域法是通过把结构拆成多个模态的组合，对每个模态进行单自由度求解，叠加后得到结构的响应，而时域方法就是把时间离散为一个个时间段，如0.02s，然后每个时间更新结构的动力荷载及动力刚度，通过每一步的静力求解得到下一步的响应，所以叫做逐步积分法，上一步的计算结果影响下一步的计算结果。

注意，时域分析不需要进行模态分析也能进行，但程序中进行模态分析是因为要得到第1周期与第2周期，用来算瑞利阻尼。时域分析因为没有把模型拆成单自由度，所以阻尼不能指定给模态，必须组装整体阻尼矩阵，因此需要通地前2阶的周期计算出阻尼矩阵。

 上述程序可帮助同学学习多自由度体系的逐步积分法，整个计算的细节通过文本以计算书的形式展示出来，如展示质量矩阵，刚度矩阵及阻尼矩阵，还有逐步法的计算参数。程序提供两种算法Wilson-theta与Newmark法

本篇笔记通过一个4自由度的计算实例讲解如何通过逐步积分法来求解多自由度体系（层剪切模型）的地震动时程分析。这里面有几个概念要搞清楚。

（a） 模态分析只为了求第1第2周期，用于计算阻尼矩阵
（b） 逐步积分法要形成结构的刚度矩阵，质量矩阵与阻尼矩阵
（c） 通地Newmark, Wilson-theta法可以把结构动力分析变成静力分析，每步求解为静力求解，因此需要计算等效刚度矩阵与等效荷载向量。
（d） 静力求解得到下一步（或延长步）的位移向量，通过位移向量，根据不同的逐步积分法公式就可以求得下一步的速度向量与加速度向量。
（e） 弹性结构不存在变刚度，所以每一步只需进行一步静力求解，不需要迭代。

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学习之前的准备：
层模型的简化与建模
http://www.dinochen.com/article.asp?id=260
层模型的模态分析求解方法
http://www.dinochen.com/article.asp?id=376
多自由度体系模型时程分析的振型叠加法
http://www.dinochen.com/article.asp?id=405
在学习多自由度（层剪切模型）的地震动时程分析法的原理之前，需要了解如何把多层结构简化为层剪切模型及在ETABS或其它软件如何建立剪切模型，这方面的内容可以参考以下笔记。
多自由度体系MDOF的地震动时程分析的逐步积分法的主要原理就是：通过不同的积分方法，把动力分析转换为静力分析。
 
求解过程如下：
（1） 形成结构的刚度矩阵，质量矩阵，如上图所示。
 
（2） 通过模态分析求得结构的第1与第2周期，再通过周期求解阻尼矩阵，采用瑞利阻尼，计算过程如下。计算公式参考克拉夫《结构动力学》书上公式12-41（第185页）。
 

（3） 逐步积分法，以Wilson-theta法为例整个计算过程如下所示：

详细资料可下载PDF。
[1] 形成刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵
[2] 计算Wilson-theta法的参数c0~c3
[3] 计算等效刚度矩阵
[4] 根据上一步的位移，速度与加速度计算等效荷载向量
[5] 静力求解当前步（或延长步）的位移向量
[6] 根据不同的积分方法求解下一步的位移，速度与加速度向量，用于生成下一步的等效荷载向量，迭代进行至全部荷载步算完。

（4） 最终求得的结构位移时程分下图所示，与SAP2000进行对比非常吻合。SAP2000模型可以附件下载。时程分析对比，可见EXCEL表格。
如果采用SAP2000进行逐步积分法，瑞利阻尼的设置，如下图所示。
 
在SAP2000中设置瑞利阻尼的设置方法

 
Wilson-theta方法程序与SAP2000的结果对比
 
Newmark方法程序与SAP2000的结果对比

其中，Wilson-theta, theta = 1.4, Newmark方法，Gamma = 0.5, beta = 0.25
以上就是本节笔记的全部内容。

====本节完====

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