钢填板-螺栓节点是现代木结构建筑中最常采用的节点形式，此类节点在设计过程中，为便于安装，钢板及木构件上开设的螺孔往往比螺杆直径稍大，因此，当一个节点安装完毕后，螺栓相对于钢板孔、木孔可能存在间隙。

木结构节点的转动刚度对结构承载能力影响显著，近年来一直是业内学者研究的热点。而由于螺栓与螺孔间间隙的存在，节点的转动刚度在初始转动阶段可能趋近于0，随着螺栓与孔壁逐渐压紧，方可发挥节点真正的抗弯能力。

通过总结分析学者们关于钢填板螺栓节点的试验研究，发现钢填板-螺栓节点受弯转动过程大同小异。如下图所示：

O-A阶段：滑移段，θ1为滑移段极限转角

A-B阶段：弹性段，Kini初始刚度为，θy屈服转角为

B-C阶段：塑性段，Ky塑性段屈服刚度为，θu极限转角为

本篇将针对“钢填板-螺栓节点到底栓紧了没？”即受弯状态滑移段的确定方法及其取值，做以下设想及推演。

每一根螺栓安装后可能存在两种状态：

(1) 直径为dt的木孔与直径为ds的钢板孔的交集区域可容纳一个直径为d的螺栓断面，此为螺栓初始未压紧状态，如图1所示。

图1 螺栓初始安装状态

(2) 直径为dt的木孔与直径为ds的钢板孔的交集区域恰好容纳或不可容纳一个直径为d的螺栓断面，此为螺栓初始压紧状态，如图2所示。根据木结构工程经验及销槽承压试验数据，本文通过锤击力与木材销槽承压力的关系，定义螺栓可侵入木材销槽最大深度为1mm，如图3所示。

图2螺栓初始压紧状态

图3 木材最大侵入量定义

现有任意一个包含n个螺栓的钢填板-螺栓节点，已知该节点螺栓排布为a行×b列，行间距为r，列间距为s，木构件螺孔直径为dt，钢板螺孔直径为ds，螺栓直径为d。螺栓排布如图4所示。

图4 螺栓节点排布

若该节点初始安装状态中至少有一个螺栓与钢板或木构件孔壁挤紧，则可认为该节点已处于压紧状态，即滑移段转角为0。若该节点初始安装状态所有螺栓均处于未压紧状态，设该节点从未压紧状态到压紧状态过程中最大转角为θm，且任意一个螺栓在初始安装状态下未压紧的概率为P，则该节点滑移段转角：

3.1  随机概率模型简化

木构件和钢填板在制造过程中存在不可预知的误差，导致木孔与钢板孔存在随机相对位置，包含了螺栓压紧孔壁和螺栓脱离孔壁两种情况，其中任一个螺栓脱离孔壁的概率即为P。前文定义螺栓可侵入木材销槽最大深度为1mm，则木孔与钢板孔位置随机出现的范围是一个直径为Φ=dt+ds-d+1的圆，如图5所示。

图5 木孔和钢板孔随机位置范围

则该事件发生的概率P可简化为以下模型：

在直径为Φ的圆内随机放置两个直径分别为dt和ds的圆，此两圆交集可容纳一个直径为d的圆的概率。

由于两个圆形随机位置较难求解，可将圆的随机位置转化为点（即圆心）的随机运动，如图6所示，直径为dt的圆在直径为Φ的圆内随机运动，圆心出现的范围是一个半径为R1的圆形。同理，直径为的ds圆在直径为Φ的圆内随机运动，圆心出现的范围是一个半径为R2的圆形。

图6 圆心轨迹概率模型

如图7所示，当一个螺栓恰好贴紧木构件螺栓孔和钢板螺栓孔时，两螺栓孔圆心距为q。

图7 简化概率模型

综上所述，此随机事件可进一步简化如下：

在半径为R1的圆内随机取一点A，在半径为R2的圆内随机取一点B，此两圆为同心圆，线段AB小于q的概率，即：P=P(AB<q)。< p>

3.2  概率公式推导

(1) 当木构件与钢板螺孔直径相等，即R1=R2时，上述事件的特例为：在一个半径为R的圆内随机取两点A和B，AB小于q的概率。

令事件X为：在半径为R的圆内任取一点A，点A落在内外半径分别为x和x+dx的圆环内。

令事件Y为在半径为R的圆内任取一点B，AB<q。< p>

则：

如图8所示，x为在圆内任取一点距圆心的距离，可取微圆环求得事件X的概率：

图8 事件X计算模型

① 若R≤q，则第一点A从0到R运动过程如图9所示，在A点确定后B点选取范围为图中阴影面积Sc。

图9 概率P计算模型Ⅰ

② 若R>q，则第一点A从0到R运动过程如图所示，在A点确定后B点选取范围为图10中阴影面积。

图10 概率P计算模型Ⅱ

(2) 当木构件与钢板螺孔直径不相等，即R1≠R2时，上述事件为：在半径为R1的圆内随机取一点A，在半径为R2的圆内随机取一点B，此两圆为同心圆，线段AB小于q的概率。

令事件X为在半径为R1的圆内任取一点A，点A落在内外半径分别为x和x+dx的圆环内。

令事件Y为在半径为的同心圆内任取一点B，AB<q。< p>

令R1<r2。

则：

① 当第一点取在半径为R1的小圆内时，事件X的概率为：

(a) R2<q，则第一点a从0到r运动过程如图11所示，在a点确定后b点选取范围为图中阴影面积sc1。

图11 概率P计算模型Ⅲ

(b) 若R2>q，则第一点A从0到R运动过程如图12所示，在A点确定后B点选取范围为图中阴影面积Sc1。

图12 概率P计算模型Ⅳ

② 当第一点取在半径为R2的大圆内时，事件X的概率为：

(a) 若R2-R1<q，则第一点a从0到r运动过程如图所示，在a点确定后b点选取范围为图13中阴影面积sc2。

图13 概率P计算模型Ⅴ

(b) 若R2-R1>q，则第一点A从0到R运动过程如图所示，在A点确定后B点选取范围为图14中阴影面积Sc2。

图14 概率P计算模型Ⅵ

综上所述，当R1≠R2时，概率P可分为以上两种情况分别计算。

3.3 概率方程求解

(1) Sc求解

如图15所示，半径为q的圆的圆心A从O点向D点运动过程中可能会出现(a)、(b)、(c)等位置关系，经过简单几何分析发现所有可能出现的情况下：

图15 木孔和钢板孔相对位置

又有：

则有：

将所求结果分别带入概率方程式即可解得概率积分方程，根据实际设计情况将、、q等参数代入方程即可对其求解。

(2) 确立参数

根据工程设计实际情况，可确立木构件螺孔直径与螺栓直径差值、钢板螺孔直径与螺栓直径差值有可能出现的情况，本文据此给出参数R1、R2、q三种可能取值的情况：

根据前文推导公式，代入各参数，可求得三种随机状态下的概率PⅠ、PⅡ和PⅢ。

求解可得PⅠ=0.58650

求解可得PⅡ=0.81892

或：

求解可得两种情况解得概率值一致，即PⅢ=0.72024

根据几何关系分析，θm,ab为a行b列螺栓排布对角线位置可转动的最大角度，如图16所示，可确定以下参数：

图16 群栓转动示意

根据本节所推导过程，可确定包含n个螺栓，排布方式为a行b列的木-钢填板螺栓节点滑移段转角为：

本文重点关注钢填板-螺栓节点受弯转动过程中最初始的滑移阶段。提出了螺栓、木孔和钢板孔的随机概率模型，用以表示任一螺栓安装在群栓节点中任一螺孔时，螺栓与螺孔未压紧的概率。进而将该模型简化为方便计算的数学条件概率模型，对其分类求解，便可得到任一螺栓未压紧的概率。由此概率便可大致评估一个节点在转动滑移阶段的最大转角，进而为更准确的螺栓节点转动刚度计算提供基础。

以上评估及求解方法均为笔者不尽详熟的思路，如有不同见解，欢迎讨论。

参考文献

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