前言：在学习OPENSEES,SAP2000等程序做地震动时程分析时，很多概念似懂非懂，比如振型叠加法是什么，与振型分解反应谱法有什么区别，为什么算时程时要先算振型，振型分析有什么用，什么是振型质量参与系数，什么是振型刚度，多自由度与单自由度之间是什么关系等等，希望以下的笔记帮你补充这方面的知识。附件有EXCEL表格，详细展开算例的计算过程。

【转自：Dino结构笔记-公众号】多自由度体系模型时程分析的振型叠加法

【程序下载】程序：MDOF振型叠加法小程序mdof_hist.rar
【附件下载】附件：MDOF时程分析的振型叠加法PPT及EXCEL表格

多自由度系统时程分析程序界面
可导入地震波，附件自带地震波文件GM1X.TXT是EL-CENTRO地震波

本篇笔记的内容是香港大学研究生抗震课程第5课的相关内容：
通过公式推导，代入数值手算及编程的方法介绍MDOF的振型求解。

上述程序帮助同学学习整个振型叠加法，整个计算的细节通过文本以计算书的形式展示出来，配合附件的EXCEL表格，同学们可以了解整个计算过程。

本篇笔记通过一个4自由度的计算实例讲解如何通过振型叠加法来求解多自由度体系（层剪切模型）的地震动时程分析。这里面有几个概念要搞清楚。

例题的基本条件(阻尼比为0.05)

(1). 振型叠加法并不是振型分解反应谱法，振型叠加法用于求解多自由度体系（有限元模型）的时程分析。
(2). 采用振型叠加法求解结构的时程分析响应，必须对结构进行振型分析，求解振型形状（振型位移）与模态周期等。
(3). 结构的时程分析方法主要有两种：振型叠加法与逐步积分法（Newmark, Wilson-theta），逐步积分法不需要预先求解结构的振型。
(4). 进行结构的地震动时程分析，需要以下几个要素：质量[m]，刚度[k]，阻尼比[c]，地震波数据[P(t)]。
学习之前的准备：
[1]层模型的简化与建模
http://www.dinochen.com/article.asp?id=260
[2]层模型的模态分析求解方法
http://www.dinochen.com/article.asp?id=376
[3]精确积分法求解单自由度体系的时程分析
http://www.dinochen.com/article.asp?id=371

多自由度体系MDOF的地震动时程分析的振型叠加法的主要原理就是：通过模态分析，把多自由度体系变成N个单自由度体系。每一个单自由度体系SDOF有自己的周期（也就是结构每个模态的周期），有自己的质量（振型质量），有自己的地震波荷载倍数。
整个求解过程通过以下EXCEL表格展示：
刚度矩阵的求解过程，可参考以下笔记的内容：
http://www.dinochen.com/article.asp?id=376
 
求解过程如下：
（1）进行模态分析，求得周期与振型

多自由度体系的振型求解

振型矩阵，把全部振型位移归一化，原则是每个振型的顶点位移为1.0
 
 

 
（2）根据周期、质量、振型，求解每个模态的单自由度体系的质量，阻尼，刚度与荷载倍数
  

以上这个过程，把多自由度系统变成多个单自由度系统，这种求解方法叫”解耦” 

（3）将单自由度的系统的质量设为m=1.0，地震动的荷载倍数就是Gm_factor= V/m。
其中振型质量与荷载倍数需要采用矩阵计算，而阻尼与刚度项与频率相关。
 
 
（4）对每个模态的单自由度体系进行时程分析求解，得到位移时程数据，单自由度的时程分析采用精确积分法，之前的笔记讲解过。

以上是基于精确积分法求解单自由度体系的时程响应

 （5）把每个模态的位移时程数据乘以振型形状，得到结构的最终每个结点的位移时程。

  
具体求解过程可以参考EXCEL表格。

（6）振型叠加法中的每个振型的质量参与系数求解方法示例如下：
每个振型的参与质量分量为：

M_i^*为第i振型的质量，U_g为第i振型的荷载系数
计算所得结果与ETABS简化模型计算结果吻合。详细计算过程可以参考附件中的EXCEL表格。
 
以上就是本节笔记的全部内容。

====本节完====

（微信公众号用户，点击【阅读原文】后下载）

更多结构动力学的东西，可以关注我的微信公众号： DINOSTRU