本文转载自公众号DS结构工作室
作者：李俊安
双向张弦结构是由单榀张弦结构的上弦钢梁和下弦拉索均沿两个方向交叉布置而形成的空间受力体系。由于两个方向的平面张弦梁互为对方提供面外弹性约束，平面张弦结构的面外失稳问题得以控制，整体稳定性能表现梁好，其受力性能及整体刚度均优于单向张弦结构，是一种致得推广的结构体系。比较有代表性的工程项目有国家体育馆屋面结构（平面尺寸为114mx140m,上弦为正交的刚性桁架）、中石油大厦采光顶（平面尺寸40mX40m，上弦为正交矩形钢梁）。
双向张弦结构的合理索形及合理索力是设计的关键内容之一。合理索形及索力应使上弦杆受力近似轴压，整个结构在给定荷载下挠度近似为0。参考相关文献，本文用三种方法求解双向正交张弦结构的合理形状及索力。
一般情况下，上弦压杆形成的曲面和下弦拉索形成的曲面均由多段直线组成，曲面方程均不可导，为了理论分析方便，假定上弦压杆和下弦拉索足够密，曲面方程均可导。
由单向张弦梁竖向荷载作用下的微分方程（推导过程可参考“一文看懂单向张弦梁的找形”），可推导出双向正交张弦结构的偏微分方程如下：
（1）
其中、分别为x方向和y方向单位宽度拉索的拉力水平分量。为上弦压杆与下弦索网形成的腹高（或腹厚）函数。q为张弦结构的平衡荷载，其值等于外荷载。
为了设计方便，令双向拉索的预应力相等，即。则（1）式变为（2）式，（2）式为典型的泊松方程，简写为。
（2）
如果能求出满足式（2）函数的通解，则函数即为双向正交张弦结构的最合理形，则为对应的最合理索力水平分力。
（2）式的通解由（2）式对应的齐次方程的通解加上（2）式的一个特解组成；（2）式对应的齐次方程为拉普拉斯方程，即（3）式，求出（3）式的通解，再找到出（2）式的一个特解，便可求得（2）式的通解
（3）
（3）式的通解为
（4）
很容易找到（2）式的一个特解为
（5）
因此（2）式的通解为（6）式
（6）
给定边界下最合理形状函数的特解
实际工程中，双向张弦结构的边界条件往往是给定的，因此寻找最有形状函数其实就是寻找（式6）在给定边界条件的解。一般情况下，不规则边界下的泊松方程无解析解，下面对各种边界的解进行介绍。
（1）圆形边界
如双向张弦结构的边界为圆形，方程为，则可通过试算或待定系数法，求解出最合理形状函数为：
（2）椭圆形边界
如双向张弦结构的边界为椭圆形，方程为，则可通过试算或待定系数法，求解出最合理形状函数为：
（3）矩形边界
如双向张弦结构的边界为矩形，方程为则可通过分离变量法求解，详细求解可参考相关文献，在此仅给出结果。
（4）其它边界
不规则边界下的泊松方程可通过数学软件求解，如matlab或mathcad的PDE（Partial differential equation）模块求解。
最合理形一些性质
给定边界条件下，最合理形状有多组，每组对应一个最合理索力。同单向张弦梁的最合理形状及索力类似，双向正交张弦结构的最合理形及索力同样具有一些性质。
在保障腹高（厚）及水平分力不变的前提下，竖向拉伸上弦钢梁（桁架）或下弦拉索，改变后的形状仍为合理的形状及初应变。
由前述推导过程可知，将腹高（厚）放大或缩小倍，对应的水平分力缩小或放大倍，将得到一组新的合理形状及初应变。
若外荷载一对应的合理形状函数为，水平分力；外荷载二对应的合理形状函数为，水平分力；则外荷载一加外荷载二对应的合理形状函数为，水平分力为。
若外荷载一对应的合理形状函数为，水平分力；外荷载二对应的合理形状函数为，水平分力；则外荷载一加外荷载二对应的合理形状函数为，水平分力为。
方法二：方程组求解方法
实际工程中，双向正交张弦结构的拉索或压杆间距比较大，受力并不严格满足方法一所述泊松方程。
对于单向张弦梁，如果知道线荷载函数，则可以求出合理形状及索力。当双向正交张弦结构满足合理形状及索力时，则纵向或横向的每一榀张弦梁满足合理形状及索力。通过求解合理索形及索力状态下的方程组，便可求解出双向张弦结构的合理索形及索力。
如上图所示，假定x向张弦结构m榀，y向张弦结构n榀，撑杆数量个。
（1）给出第i行拉索的水平分力及第j列拉索的水平分力；
（2）每行及每列张弦桁架所受外荷载，可以是线荷载也可以是集中荷载；
（2）第i行第j列交点处，第j列张弦桁架对第i行张弦桁架的支撑力，未知变量数量为个；
根据合理形状及索力的性质，对每个撑杆位置，可列出x向和y向的平衡方程，共计个，即
其中与为相应单向张弦结构在外荷载及作用下按简支梁计算出来的弯矩。
由个方程可求解出个未知量，即可找出给定索力下对应的合理索形。
方法三：有限单元法
因为拉索只受拉，不能受压或受弯。施加一定预应力的索网在外荷载作用下的变形形状一定是合理形。这种方法先给出索网的初始预应力，然后将外荷载作用在所网上，索网变形后的形状便是对应索力及外荷载的一个合理形，再根据合理形的拉伸及缩放等性质，便可求出所需的合理形。
由于索网变形过程中，作用点除产生竖向位移外，还产生平面方向的位移，合理形对应的外荷载作用点发生偏差；另外变形过程中，索力增大，合理形对应的索力也不是预先给定的索力。为避免这个问题，可将外荷载乘以一个很小的系数，在这个荷载下，荷载作用点的水平位移可忽略，索力增大量可忽略，此时，将得到的变形形状再乘以相应的增大系数，便可得到理想的合理形。
三种方法的比较与总结
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方法
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优缺点
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偏微分方程法
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（1）对规则边界及规则初始预拉力可快速求出解析解；
（2）对不规则边界很难求解或求不出解；
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方程组求解方法
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（1）对规则边界或不规则边界都适用，对规则初始预拉力或不规则预拉力都适用，结果是精确解。
（2）求解过程工作量适中。
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有限单元法
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（1）对规则边界或不规则边界都适用，对规则初始预拉力或不规则预拉力都适用，结果有一定近似，但完全满足工程精度要求。
（2）求解过程工作量小。
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转自：钢结构-公众号
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