大家一定听说过振型分解反应谱法吧？如果没有的话，可以点击左上角的小叉叉退出这篇文章了，因为下面并不会解释什么是振型分解反应谱法，而只会解释它用于计算楼面峰值加速度时会遇到什么问题，以及我们的解决方案。

为什么要算楼面峰值加速度？因为它是楼面加速度谱的必不可少的锚点。那为什么需要楼面加速度谱？因为它决定了施加在许多非结构构件上的荷载，是非结构构件抗震设计的基础。

吊顶、填充墙、室内物品、机电设备等各类非结构构件作为建筑的重要组成部分，其地震破坏正日益得到工程界的重视，但我国的《建筑抗震设计规范》仍主要是一本结构抗震设计规范。别的不说，用于估算非结构构件抗震承载力需求的楼面峰值加速度（peak floor acceleration, PFA）沿结构高度的分布就粗糙得不忍直视。当然了，别国的公式也没好到哪里去。

估算与结构损伤相关的层间位移时有基底剪力法、反应谱法还有时程分析法，到了与非结构构件损伤相关的PFA，这么马虎就对付过去了？连结构的动力特性都懒得考虑一下吗？

为了替非结构构件的抗震设计撑撑门面，一个自然的想法是把振型分解反应谱法用于估算PFA。为此，不难推导得到以下基于SRSS组合的计算公式。是不是有些眼熟？跟算结构的最大位移反应差不多嘛。

然而，真的操作一遍才发现：有bug啊！

这是为什么呢？

回头再来看看刚才使用的振型分解反应谱法的公式：在估算某一阶模态的峰值加速度反应时，将表示绝对加速度的反应谱值和表示相对位移分布的振型向量乘在了一起。

这个时空观有点问题呀。按照这个公式，由于振型向量在基底总是趋于零的，因此绝对加速度反应在基底也总是趋于零，而非趋于地面峰值加速度（PGA）。

修正这个bug的一个自然的想法是让时空统一：使用相对加速度反应谱，然后让PGA也参与振型组合（以Kumari and Gupta 2007为代表）。

想法不错，可惜不太好用。首先，去哪儿搞什么相对加速度谱呀。规范里的设计反应谱在本质上是拟加速度谱，对于小阻尼体系与绝对加速度反应谱相接近。如果为了估算楼面峰值加速度还要单独给出一个规范化的相对加速度谱，实在得不偿失。其次，对于柔性结构，这一方法会极大地高估结构的PFA，效果并不好

我们的想法是，其实SRSS已经挺优秀了，只是对于结构下部楼层会低估PFA并且在基底趋近于零，上部楼层预测得其实挺好的。不必大动干戈。

借鉴Kumari and Gupta (2007)的思路，让PGA参与振型组合，可以容易地使PFA在基底趋于PGA，但引入一个“虚拟振型”（complementary mode），控制PGA沿结构高度方向的影响范围。于是得到以下振型分解反应谱法计算公式：

这个虚拟振型长什么样呢？使出“简单粗暴大法”，直接利用时程分析结果和传统的SRSS组合结果反求所需的虚拟振型。对5层、10层和40层原型结构的计算结果如下：

总的来说，结构越柔（一阶周期T1越长），PGA对PFA的影响范围越小。其物理意义在于，SRSS组合的基本假设是参与组合的物理量是相互独立的，然而当PGA参与组合时，它显然与楼面绝对加速度反应不独立：越是接近基底，楼面加速度反应受PGA的影响越大。

基于这一观察，我们给出以下经验性的虚拟振型与结构一阶周期T1之间的函数关系：

至于为什么T1在根号下面，我觉得是个有趣的问题，可惜暂时还没有什么头绪。

把这个虚拟振型代回上式，既继承了SRSS在上部楼层的优秀表现，又考虑了PGA的参与对下部楼层PFA的影响，与其他方法比起来自然更胜一筹。

值得一提的是，这个方法用于估算非线性PFA反应也毫无压力。为什么要算非线性PFA？大家可能习惯了在小震下进行线弹性的计算，这背后是有基于结构延性的承载力折减系数来保证的，但其本质仍然是中震设计，这也是中震被称为“设防地震”的原因。

非结构构件的抗震设计是否沿用小震设计？是很成问题的。像《建筑工程抗震性态设计通则CECS160-2004》那样直接在设防地震水平下进行计算，更加直观明了。

为此，需要在一阶模态反应中引入一个考虑结构弹塑性反应的折减系数Cp，其物理意义是相同水平地震作用下的弹塑性基底剪力VNL与线弹性基底剪力VEL之比。

以Cp=0.6为例，振型分解反应谱法的表现仍然很优秀。

用训练集做测试，想不优秀都难吧？

那就真的测试一把。以一栋实际的5层钢筋混凝土框架结构和一栋42层钢筋混凝土框架-核心筒结构为例，计算它们的PFA反应。在这两个测试算例中，结构的动力特性、刚度分布、承载力分布均与上面用过的原型结构不同，地震动也不同，振型分解反应谱法的表现仍然很优秀。

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