【Dino爱编程】有限元理论中用到的形函数

关键词：数学，有限元，生物学，形函数
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形函数(Shape Function)，在知乎有一篇关于形函数的介绍，写得不错，“有限元简单科普之形函数”，https://zhuanlan.zhihu.com/p/92684111
但笔者想通过编程的方法及展示一本书的内容来介绍我对形函数的理解。
1. 以四结点四边形单元为例，由于有4个结点，所以形函数写成如下公式。
当然，公式的推导过程可以看有限元的相关教科书。

基于上述公式，我们了解到这个N_i就叫做形函数，其实每个形函数N_i，其实是一个关于ξ与η的函数，完整的形态应该写成N_i (ξ,η)，所以在参考坐标系ξη中，随着坐标(ξ,η)点的变化，这个参数是发生变化的。比如我们要求求解高斯积分点(0.57735,0.57735)的形函数，我们就把ξ=0.57735,η=0.57735 代入公式中计算得到全部的形函数。

2. 以四结点四边形单元为例，可以通过以下求和公式，把参考坐标系的点变成真实二维坐标系的点。这相当于映射变换，其中u_i与v_i为真实坐标的四个边角点（已确定），参考坐标点(ξ,η)可以确定全部的形函数N_i值，通过以下公式就可以把(ξ,η)找到对应真实坐标点(u,v)，这个点的对应关系叫做映射，随着4点角点的变化，映射后的形状也会发生变化。参考坐标内的图形，由真实坐标的四个角点控制形状，所以这个函数叫做形函数(Shape Function)。

通过四个角点来控制形状，如果大家使用过一些图形软件如Rhino, 3dsmax, photoshop就一定很熟悉这个功能，这个就是几何拉伸(控制点变形)，如下图所示。
 
图，3DSMAX的三维图形拉伸功能FFD2X2X2

图 PhotoShop的二维图形拉伸功能

形函数也体现了自然界的生物形状相关性，这涉及到动物遗传理论及进化论的延伸，虽然很多现象是很明显的，但现代科学还不能完全给出解析，这里列举了一本书的内容，是一个数学家达西·汤普森的著作《On Growth and Form》，达西·汤普森是一位英国苏格兰数学家、生物学家和古典学家，是数理生物学的早期先驱之一，主要作品有《生长和形态》（On Growth and Form），我拿到了书的简读版，如下图所示。好书是从孙一非同学那里借来的。本书就是让我大开眼界，没错，我又来推荐大家读数学书了。
   

神书《On Growth and Form》， 作者:达西·汤普森

书上展示了动物相似性的规律，最典型的例子就是二维形态的生物：鱼。不同种类的鱼通过一次（4结点）或二次（8结点）的形函数变换就可以得到对应的形状。还有人的头骨、猩猩的头骨，狒狒的头骨通过二次形函数即可变换得到。可见遗传基因控制着某种发育机制最终通过形函数的表达出来。即为什么形函数叫做形函数，控制形态的函数。
 
图 不同种类的鱼的几何变换关系
  

图 不同人类，猩猩与狒狒头骨的几何变换关系
图 不同昆虫外形几何变换关系

笔者通过编程的方法实现4结点与8结点的几何映射计算，首先列出8点的形函数如下图所示。

注意，8个结点的顺序每个教科书都有所不同，顺度会影响最终形函数的表达式。

那么八结点四边形单元的形函数，边界与内部点之前的关系是二次曲线关系。形函数公式如下所示。

笔者通过编程实现图形的形函数4结点与8结点的变换，特别是8结点变换在图形软件中比较少见。
关键程序的源代码可见附件。
 

图，8结点形函数对正方形的变换

示例， Argyropelecus olfersi与Sternoptyx diaphana 两种鱼的变换关系（斜切）

示例， Polyprion 与 Pseudopriacanthus altus 的几何变换关系。

示例， Diodon 与 orthagoriscus 鱼的几何变换关系。

有限元中形函数的应用就是把4结点8结点的任意四边单元，规则化成正方形单元，那么两都的应力场，位移场需要通过形函数建立起对应关系，那么求解过程中的积分点，只需要通过正方形的坐标点表达，对于四个高斯积分点的情况就是高斯积分点(0.57735,0.57735)等，这个积分点的坐标就是参考坐标了。那么应变（对位移求导）的关系，需要通过一个叫做雅克比矩阵建立联系，这个以后再聊。

本篇讨论”形函数“，讲述一个横跨数学几何，生物学（物种进化），编程与有限元都相关的题目，这也是跨学科学习的一种乐趣。
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