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1.引言

结构力学发展的早期历史和启示人类自古以来建造了各种建筑物和构造物，如埃及的金字塔，法国境内的加尔德水道桥，中国的万里长城、成都都江堰、赵州安济桥、北京故宫等随着科学技术的进步，人们对于结构设计的规律以及结构的强度、刚度和稳定性逐渐有了认识，并且根据经验和实验，从不自觉到自觉地形成了专门的结构力学学科，并广泛应用于工程建设实践。

就基本原理和方法而言，结构力学是与理论力学、材料力学同时发展起来的。所以结构力学在发展的初期是与理论力学和材料力学融合在一起的。19世纪初，由于新兴工业的发展，人们开始设计各种大规模的工程结构，对于这些结构的设计，要作较精确的分析和计算。因此，工程结构的分析理论和分析方法开始独立出来，到19世纪中叶，结构力学开始成为一门独立的学科。进入20世纪以来，由于新材料、新结构、新理论、新方法的不断涌现，结构力学学科的内涵加深、范围扩展，已发展成为包括结构静力学、动力学、稳定理论、计算结构力学、智能材料结构、结构控制和健康监测等分支的学科群，它的应用范围也已经拓展至土木工程、水利工程、航空航天工程、船舶工程、机械工程等工程领域事实上，结构力学一直是力学理论与工程实践紧密联系的桥梁和纽带。

结构力学是一门既古老又年轻的学科说它古老，是因为它的诞生和萌芽肇始于经典力学的创立时期，即17世纪。说它年轻，是因为它随着力学学科的发展而发展，随着先进工业和尖端技术的成长而兴旺，与时俱进。始终贯穿它的成长历程。20世纪的力学大进展中，其中的3大进展与结构力学有关。有限元法的发展直接起源于Argyris 和 Clough等对飞机结构的分析稳定性、分岔和混沌理论以及断裂力学的发展与结构力学间接相关。

2.结构力学发展的早期历史:17世纪~20世纪60年代

在17世纪，人类科学史上的几位巨人奠定了现代科学的基石———经典力学。1609年和年1619开普勒先后著《新天文学》和《宇宙和谐论》，提出行星运动的开普勒三定律。1632年伽利略的著作《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》出版，支持了地动学说，首先阐明运动的相对性原理。1638年他出版《两门新科学的对话》，讨论了材料抗断裂、媒质对运动的阻力、惯性原理、自由落体运动、斜面上物体的运动、抛射体的运动等问题，给出了匀速运动和匀加速运动的定义。1687年，牛顿集前人之大成，著《自然哲学的数学原理》，阐述和建立了牛顿运动定律和万有引力定律，搭建了经典力学大厦的基本框架。结构力学就是在经典力学的框架体系下逐渐发展起来的。

2.1能原理和能方法

能量原理是结构分析的理论基础，由此出发导出了几个位移计算和内力分析的普遍性方法。虚位移原理由John Bernoulli在年提出。英国的Maxwell于1864年对只有两个力的简单情况建立了位移互等定理，并提出计算位移的单位荷载法。随后，意大利的Betti于1872年对位移互等定理加以普遍证明，推广为功的互等定理；意大利的Castigliano于1879年提出了卡氏第一和卡氏第二定理和最小功原理(即应变能极小原理)；德国的Engessr于1884年提出了余能的概念，1889年提出余能方法。下面展开阐述具体的情况。

变形体虚功原理的含义为：外力虚功=内力虚功。由变形体虚力原理可以导出计算梁、刚架或桁架指定点位移或转角的通用方法，即单位荷载法。前面述及，1864年Maxwell提出单位荷载法，1874年德国的Otto Mohr也独立地建立了此方法，所以，单位荷载法也被称为Maxwell-Mohr法。两人都曾将单位荷载法用于静定桁架的位移计算。单位荷载法利用了三个基本条件，即力的平衡条件、几何协调条件和物理条件。由于其物理条件不限于线弹性，它也适用于求解非弹性结构的位移；由于结构类型不限于静定结构，它也可用于超静定结构的位移计算。对于任何一个具有理想约束的平衡刚体体系，系统内力虚功为0，从而刚体体系的主动力即外力所做的虚功为0，这就是刚体虚功原理。由刚体体系虚位移原理可以得到求解静定结构指定约束力的快速简便方法，即单位位移法。

1879年，意大利的铁路工程师Castigliano出版了一本书《弹性系统平衡理论》，基于虚功原理提出了卡式第一定理、第二定理和最小功原理(即应变能极小原理或最小势能原理)。卡式第一定理给出了求结构产生位移后某一截面约束力的方法。卡式第一定理可用于求解超静定结构，而且它的应用与叠加原理无关，可以推广到非弹性系统，它相当于结构的平衡条件。第二定理给出了一种求桁架、梁或刚架结构中一点的位移或转角的方法。卡式第二定理的应用也可推广到非线性弹性状态，它相当于结构的位移协调条件。根据卡式第二定理，某一点的位移等于结构中的应变能对作用在此点并沿所求位移方向的力的一次偏导数。用卡式第二定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载。如需计算某处的位移，而该处并无与位移相应的荷载，则可采用附加力法。1878年Crotti提出计算弹性体位移的定理，1889年Engesser也独立提出，称Crotti-Engesser定理，该定理由虚力原理利用应变余能的概念导出，适用于非线性弹性结构的位移计算。卡式第二定理是Crotti-Engesser定理的特例，这样，最小势能原理和最小余能原理被先后建立。

1886年德国的Muller-Breslau基于虚位移原理，提出一种快速确定梁的内力影响线形状的方法，即某量值的影响线与此量值作用下梁的位移形状相同，该方法被称为Muller-Breslau原理或Muller-Breslau准则，也就是教材中所称的机动法。实际上，作静定结构内力影响线的机动法是基于单位位移法，而应用位移互等定理可建立超静定结构的内力影响线和静定结构的位移影响线。

世纪中叶，能量原理和能量方法取得了突破性进展，研究者相继提出了迥异于单变量变分原理(即势能原理和余能原理)的二类变量、三类变量的广义变分原理，为结构分析提供了新的方法。1950 Reissener年提出了弹性力学的二类变量广义变分原理，展示了在能量法中建立同时近似地满足不同力学性质的方程的前景。1950年钱令希在《中国科学》发表了论文“余能理论”，开创了我国力学工作者研究变分原理的先河。之后，我国出现了一些有国际影响的变分原理研究成果，如1954年胡海昌提出的三类变量广义变分原理。”（1955年K Washizu在美国也发表了这一原理，被称为Hu-Washizu变分原理），其中不少工作受到了钱令希论文的启发。

2.2力法和位移法

在力法、位移法出现以前，人们只能对简单结构的内力和位移进行计算。从1847年开始的数十年间，人们应用图解法(Maxwell图等)、解析法(结点法和截面法)等来研究静定桁架结构的受力分析，建立了桁架理论的基础。对于复杂桁架，Henneberg提出了有效的代替杆法。两个弯矩面积定理最初由Otto Mohr提出，于1873年由Charles E Greene正式完成。这两个定理为求梁由于弯曲引起的挠度和转角提供了一种实用的方法——半图解法。它们特别适用于求解梁的弹性弯曲问题，尤其是对受到一系列集中荷载作用或由若干段不同截面的杆组成的梁。1865年Heinrich提出计算梁的挠度和转角的共扼梁法。与弯矩—面积定理相比，这两种方法的计算量差不多，但共扼梁只用到了静力分析规则，因此更简单些。

力法最初由Maxwell于年提出，后来又被OttoMohr于1874年修正，并由Muller-Breslau于1886年作了根本性的发展。Maxwell在他的科学生涯中兴趣广泛，除了从事弹性力学和结构力学的研究，还包括光学、电磁学研究。1864年他综合建立了电磁场理论的基本方程组方程组，并推断电磁波的存在，预测光是一种电磁波。力法的基础是几何协调条件，所以实质上它是相容方法或位移协调法。用力法求解超静定结构内力时，以多余约束力为基本变量，先选择几何不变的基本体系，由几何协调条件建立力法方程，再由单位荷载法求出力法方程中的位移影响系数，然后解方程得到多余力。当多余力确定后，超静定结构的其余支座反力和内力可由静力平衡条件求出。

力法的基本原理简单易懂，但对于比较复杂的超静定结构，基本体系的选择需要较多的经验和人为干预，对多层多跨刚架结构，多余未知力的数目较多，方程求解难度增大，而位移法可以克服上述困难。

位移法的发展分为转角位移法和矩阵位移法两阶段。1826年法国的Navier提出弹性力学中的位移法思想，并用于求超静定桁架的内力。转角位移法的前身—次弯矩法最早由德国人H Manderla 于1880年提出，用于求解拓架的次弯曲应力，1892年对Mohr它进行修改，并逐渐为人所知。次弯矩法假定弯矩不影响桁架结构的结点位移，这只对小弯矩效应才能成立。进入世纪，随着使用钢筋混凝土材料建造的桥梁和高层建筑逐渐增多，刚结点引起的弯矩效应变得显著，而轴力产生的结点位移很小。1915年美国人W M Wilson和 G A Maney改造了次弯矩法，用它求解刚架内力，并称之为转角位移法。稍早，1914年丹麦工程师AxelBendixen独立地将转角位移法用于有侧移刚架内力计算。1926年丹麦人A Ostenfeld指出了力法和位移法的对偶性。事实上，他的关于结构中未知位移的方程与Muller-Breslau的关于多余力的方程是互为补充的。用位移法求解结构内力时，以独立的结点角位移和线位移为基本变量，将整体结构分隔成许多单根杆件，利用杆件的力–位移关系(即转角一位移方程)通过结点的弯矩和剪力平衡条件建立位移法方程，然后求解方程得到结点位移。最后将结点位移回代入杆件转角位移方程，获得各杆的杆端内力。位移法无需关心基本体系是否几何不变(力法基本体系不能是可变体系)，它适用于静定结构和超静定结构的受力分析。

比较可见，力法和位移法都利用了结构的静力平衡条件、几何协调条件和力一位移关系可以类比于微元体的应力一应变关系不同的是，力法先在基本体系层次上由单位荷载法给出力一位移关系即单位菏载作用下表示基本体系位移的柔度影响系数，然后在结构层次上满足几何协调条件并建立力法柔度方程，最后各杆端内力由平衡条件解出而位移法先在杆件单元层次上考虑协调条件写出力一位移关系即转角一位移方程或单位位移下表示基本结构内力的刚度影响系数，然后在结构层次上满足静力平衡条件并建立位移法刚度方程，最后，利用求出的结点位移，杆端内力可由协调条件和力一位移关系求出。

有意思的是，力法、位移法与能量原理具有密切的联系。力法方程可由余能原理导出，具体步骤是首先将结构的应变余能用基本未知力X表示，然后将支座位移余能也用X表示，最后应用余能驻值条件可得到力法基本方程，解此方程求得未知力。力法方程也可由卡式第二定理。对应地，位移法方程可由势能原理导出而且，有限元法的发展与变分原理更有直接而深刻的关系。

总地来说，位移法适用于求解超静定和静定结构，而力法一般适用于超静定结构。位移法可以直接求出结构位移和内力，而力法不能直接求出位移；位移法比较容易建立刚度方程，便于计算机自动化求解。所以，位移法是目前结构分析的主要方法。值得指出的是，教材中介绍的力法是以多余力为未知量，最近也有人在努力发展与位移法平行的以全部力为未知量的所谓“完整力法”。

在计算机和矩阵位移法出现以前，工程师手工解算转角位移法得到的高阶代数方程组十分麻烦。1922年，Calisev将无侧移刚架的转角作为未知量，提出逐次近似法，可以避免直接求解高阶方程组。1930年美国人Hardy Cross发展了一种渐进的位移法，即力矩分配法，被用来近似求解超静定连续梁。其实，逐次近似法和力矩分配法的求解思想几乎相同。力矩分配法的计算过程是：逐个使结点“约束”和“放松”，对结点处弯矩依次进行分配和平衡，重复迭代直到结点的不平衡弯矩或约束力矩接近0为止。力矩分配法采用逐次迭代策略求解位移法的联立代数方程组，避免了直接求解高阶方程组的困难。它是求解线性代数方程组的迭代法在结构力学中的一次成功应用，在当时引起了工程界的极大关注，是20世纪30年代结构分析的最显著进展。但计算机发明以后，力矩分配法和其它的渐进分析方法如力矩迭代法、无剪力分配法、松弛法年提出等逐渐淡出历史舞台的中央，让位于20世纪50年代兴起的矩阵位移法。

2.3矩阵位移法和有限元法

这里首先给出有限元法的发展脉络，然后具体展开叙述。1943年R Courant已从数学上明确提出过有限元的思想；20世纪50年代，J HArgyyis等人从飞机结构分析发展出了有限元的雏形，1960年首次采用有限元的名称。我国的冯康、英国的O C Zienkiewicz、和美国的卞学磺等许多学者对有限元法的发展做出了重要贡献。

1943年，美国数学家Courant采用现在称之为线性三角形单元的技术，结合最小势能原理建立了求解扭转问题泊松方程的变分法。Zienkiewicz在一篇综述文献中写道“遗憾的是，由于不是一名工程师，他没有将此思想与离散单元网格联系起来，致使他的工作被埋没了许多年”。但后来，人们认识到了工作的重大意义，并将1943年作为有限元法的诞生之年。

20世纪年代后，航空工程师需要对金属飞机结构的板、框、梁、桁条等连续体进行详细的应力分析，有限元法就是发源于对这些连续体的结构分析。德国希腊裔学者John H Argyris于1954年10月在Aircraft Engineering 期刊上发表了一组论文，在1960年重印为一本著作《能量原理和结构分析》出版，书中的两个主要贡献是第1将弹性结构分析的基本能量原理概括、推广和统一。第2发展了针对航空工程的复杂结构分析的实用方法—矩阵分析法，包括矩阵位移法和矩阵力法。Argyris是计算工程和科学领域尤其是有限元方法和混沌理论方面的杰出学者，并于1972年创办了计算力学著名杂志 Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering。矩阵位移法借助转角一位移方程建立单元刚度矩阵，再将它组装成整体刚度矩阵，形成位移法的整体刚度方程，然后求解方程得到结点位移，再回代获得杆端内力。矩阵位移法是有限元法的雏形，利用最小势能原理可将它导出，也可称之为杆件有限元法，其特点是基本体系的建立简单统一，单元和整体刚度矩阵的形成模块化，方程求解程序化，非常符合计算机自动化计算的要求。而矩阵力法由于遗传了力法需要选择基本体系和难以自动化的缺点，现在已几乎不再应用。1965年，Timoshenko和 Young合著的《结构理论》第版介绍了矩阵力法和矩阵位移法。

1952年夏美国的 Ray W Clough来到波音公司，在Turner的指导下从事飞机机翼的结构分析，试图计算小高宽比箱形梁的影响系数，但根据法获得的位移值与实测值相差13%~65%。第二年夏天，Clough重返波音公司，Turner建议采用更好的办法给蒙皮板建模。Clough结合简单应变场提出了Ritz分析方法。1956年Turner和Clough等发表应用三角形、四边形、矩形三种单元对连续体离散化后，与位移法一样以结点位移为基本未知量建立并求解刚度方程进行2维弹性结构分析的著名论文。他们提出有限元法时利用了杆件体系分析的直接刚度法即后期位移法的一种称呼，所采用的有限元为位移元。1960年，Clough首先为有限元命名，并把有限元法称为：“Argyris方法”，为把连续体力学问题化作离散的力学模型开拓了宽广的途径。Clough后来的研究重心转向地震工程和结构动力学，他与Penzien合著的《Dynamics of Structures》影响深远，并于1972年创办重要期刊 Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Clough 早期的博士生Wilson为发展结构分析的通用程序做出了重要贡献，研制了目前流行的SAP系列软件系统。

1963~1964年，Besseling、Melosh和Jones等人的研究表明有限元法文中仍称直接刚度法的基础是变分原理，证明了它是基于变分时的Ritz法的另一种形式，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。他们的研究沟通了数学工程界对有限元法的认识和理解，使人们认识到有限元法是一种既有严密的理论基础又有普遍的应用价值的数值方法，从而促进了有限元法的发展。

我国的冯康于1960年代初并行于西方，独立地发展了有限元法的理论。1964年，他创立了数值求解偏微分方程的有限元方法，形成了标准的算法形态，编制了通用的工程结构分析计算程序。1965年发表了“基于变分原理的差分格式”一文，在广泛的条件上证明了方法的收敛性和稳定性，给出了误差估计，冯康是具有国际影响的计算数学家，他还发展了自然边界元方法，发展了求解Hamilton系统的辛几何算法，为动力系统的长时间保结构计算开辟了新途径。

1967年Zienkiewica和张佑启出版了世界上第一本有限元法著作《The Finite Element Method in Structural Mechanics》，以后和Taylor改编出版《TheFinite Element Method》，2005年该书出版第5版，为发展和传播有限元法贡献甚大。Zienkiewicz长期从事有限元法的研究，其主要贡献是提出分片试验，提出等参元，发展误差估计方法，推动有限元法在流体力学中的应用等。1968年他创办计算力学和工程的主要期刊 international Journal for Numerical Method in Engineering.

总而言之，有限元法是世纪五六十年代发展的求解连续体力学和物理问题的一种新的数值方法具体地说，通过有限单元的划分将连续体的无限自由度离散为有限自由度，从而基于变分原理或用其它方法将待求解问题归结为代数方程组求解有限元法不仅具有理论完整可靠，形式单纯、规范，精度和收敛性得到保证等优点，而且可根据问题的性质构造适用的单元，从而具有比其它数值解法更广的应用范围囚有限元法和计算机的结合产生了巨大的威力，它已成为涉及力学的科学研究和工程技术所不可或缺的工具其应用范围很快从简单的杆、板结构推广到复杂的空间组合结构，使过去不可能进行的一些大型复杂结构的静力分析变成了常规的计算，力学中的动力问题和各种非线性问题也有了各种相应的解决途径对于力学工作者来说，借助于有限元法的工具，可以得到许多难以求得解析解的问题的可靠数值结果对于工程技术人员来说，很多复杂工程对象的设计可以不依赖或少依赖于耗费巨大的实验现在，有限元法成为求解数理方程的重要方法，在计算数学、计算物理、计算力学和电磁学、传热学、气象学、地球物理学、工程学等广泛领域都大显身手的确，“有限元法真实地革新了今天的工程和科学环境。

最后值得强调的是，阅读一些优秀的科学家传记和科学史，特别是数学、物理、力学和工程学方面的科学家传记和演变历史，领略科学创造史诗般的波澜壮阔和瑰丽宏伟，对于提升科学审美和鉴赏力，促进科学传播和创新，从而自觉享受发现的乐趣和美妙是大有裨益的。