简介

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是解决优化问题的经典智能算法之一。

1995年，Eberhart和Kennedy从鸟群等群体社会模型中获得启发，抽象出粒子群算法，其特点是强调群体的信息共享。PSO概念简单，很容易与其他优秀的算法和技巧结合，被广泛应用于工程、计算机科学、行为管理科学等领域。

核心思想

粒子群可能是最简单的元启发式算法，我从一个简化的粒子群算法开始说明。

一开始，粒子在搜索空间中任意位置随机出生，每个粒子坐标都能计算出一个解，其中最优解的粒子坐标就是这个群体当前认为的最佳位置。

如果把这个最优解理解成食物最多，粒子群算法强调群体的直接信息共享，因此，所有粒子都立马知道了这里食物最多，全聚集过来了。

基础粒子群算法

在我看来，上述过程就是粒子群算法的核心。当然，作为一种目标是全局优化的算法，为了提高群体对搜索空间的探索能力，基础的粒子群算法除了记忆群体搜索时历史最优位置，还会记忆个体在搜索时的历史最优位置。

这两个最优位置就像某种引力源，使得粒子受到群体最佳和个体最佳的吸引。形象地说，就是个体既会考虑集体的观点，也会相信自己的经验。而全局优化算法必不可少的随机因素，也主要体现在每次搜索时这两个引力源的引力权重。

这种直接牵引特点使得粒子群算法能够快速收敛，但也容易过早陷入局部最优。在粒子群算法的发展过程中，也引入了遗传算法中的进化等概念，以提高全局搜索能力。

说到这里，大家可能已经发现了元启发式算法的特点，确定简单但核心的启发思想后，开始加料，如增加随机因素，结合优秀的算法和技巧。元启发式算法的目标几乎都是找到全局最优，因此改进的方向大都是提高探索能力，避免过早陷入局部最优。

公式重构

我们接着聊基础的粒子群算法。依据前文所述的群体最佳和个体最佳两个要素，Eberhart和Kennedy给出的粒子坐标更新公式为：

其中速度更新公式为：

看得出来，他们俩写这个公式的时候就是原汁原味地把他们脑子想的搬出来了。在我眼里，这个公式其实与数值优化中的基本迭代格式非常相似：

这么一比，数值优化迭代格式的和粒子群算法更新公式中的直接对应上了。

我们从信息的角度来理解这个问题的本质。不管是粒子群优化还是数值优化，迭代方法都是逐个探索搜索空间中的坐标。我们把自己当做一个粒子，每迭代一次，就需要外界给出新的指引信息，以帮助我们更好地去往下一个点，而不是瞎跑。自然，数值优化中指引方向的就是梯度等信息，而粒子群算法虽然没有高阶信息，但是有兄弟，其他人会告诉自己哪里食物更多。

既然两者的逻辑如此相似，我直接考虑对粒子群算法的速度更新公式进行了魔改，使得其更贴近熟悉的数值优化框架，便于理解。注意到速度更新公式中，本质上就是历史速度，个体最佳引力和全局最佳引力在争夺权重。根据概念不同，设：

其中global_weight就是全局最佳引力的权重，根据粒子群算法的设定，默认为0-1的随机值，也可以指定为固定值（如设置global_weight较大使得粒子偏向全局最佳靠近）。或者设计为与当前迭代次数相关，使得前期随机性强，后期确定性强。再有：

其中是搜索步长，和数值优化一样，确定方向后，我们也可以进一步抉择在这个方向上走多远。有了这个概念后，甚至也可以在粒子群中引入线搜索确定步长的方法，或者AdaDelta等步长优化方法。

另外，其中history_weight是全局最佳引力的权重，根据粒子群算法的设定，大概为0.5，并将步长设定为2。对梯度下降法有一些了解的同学可能会发现，好家伙，这就是动量的概念啊。后面这部分就是在权衡考虑多少历史速度，本质上是指数移动平均方法。由于保留了较多的历史速度，这可能是粒子群算法收敛较快，同时会产生震荡现象的原因。

至此，我们完成了对粒子坐标更新公式的重新理解，能够明白每个参数的设定会产生什么影响。

算法实现

理解了基本概念后，就可开始设计代码了。粒子的位置、速度等数据需要高频使用，故不考虑创建粒子个体对象，而是形成粒子群整体的数据表。

出于性能的需要，数据表并不是像结构体数组一样的整表，而是另写了一个由数组构成的类ParticleSwarm。ParticleSwarm应当提供粒子群数据的更新方法。通过python的魔法方法 __getitem__，也能很轻松地做到像整表索引一样获取每个粒子的信息。

另外再写一个ParticleSwarmOptimizer类型，用于记录优化器参数，定义优化逻辑，并提供基本的优化问题的接口solve。solve返回最终优化结果，其中callback可以接收优化过程的数据用于分析或可视化。

classParticleSwarm:def__init__():self.velocityself.xself.yself.swarm_best...defhow_to_update_data():...classParticleSwarmOptimizer:def__init__(opt_parameters):...defsolve(func,bound,constraint,callback)->opt_result:...defstep():#how_to_update_dataupdate_v()update_x()update_y()update_swarm_best()...

省略亿点细节，我们写完了一个粒子群优化器，找几个函数看看优化过程有没有问题。

测试

branin

ackley

似乎还挺像那么回事，再用timeit测测速度。

在github上找到一个star比较高的包，比较下性能。

使用相同参数优化同一个问题，都设置为达到迭代次数上限，设置粒子数量50个：

嗯，也就快了3倍。

再设置粒子数量为500个：

快了18倍。差不多得了。

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