拱形结构在全跨荷载作用下具有较高的承载力，但存在两大缺点：一是在偏跨荷载作用下，拱内弯矩较大，刚度和承载力均大幅降低；二是反对称几何初始缺陷的存在，会降低拱在全跨荷载作用下的稳定承载力，因而属于初始缺陷敏感结构。车辐拱由拱肋、索盘和拉索组合而成，类似于车轮的一部分，是一种基于车辐受力原理的索拱杂交结构，通过拉索对拱变形的牵制作用，限制拱在索线方向的位移发展，降低拱内弯矩，改善拱的整体受力性能。目前，钢拱的稳定性研究已较为成熟，而车辐拱由于拉索对拱体的牵制作用，稳定问题更为复杂。

郭彦林等针对车辐拱的弹性稳定进行了系列研究，包括变形机理、结构及荷载参数的影响、初始缺陷敏感性等。对于车辐拱的弹塑性稳定，王高宁总结了不同拱轴形式的车辐拱的失稳模式、受力特点及稳定承载力随矢跨比和索盘高度的变化规律。总体来看，目前对车辐拱稳定性能的研究很少，且仅限于弹性稳定性能的定性分析，有待补充弹塑性稳定承载力的研究和相应的设计计算式。

车辐拱结构中的拉索依靠自身张力来牵制拱体的变形、增大结构刚度和承载力，但受压后会退出工作，结构呈现明显的非线性特征。多数情况下，要给拉索施加足够的预应力，以避免在正常使用阶段拉索退出工作。相关文献对索拱结构稳定承载力进行了分析，结果表明对拉索施加一定的预应力能够使结构产生反挠曲从而增加刚度，但对改善其受力状态作用不明显、对极限承载力提高不大。而相关文献则指出，索拱结构的弹塑性承载力随拉索预应力的增大而增加。

针对以上问题，本文采用有限元数值方法对两铰圆弧车辐拱的弹塑性稳定性能开展研究，首先对比了不同预应力水平下车辐拱的稳定承载力，然后针对矢跨比、拉索数量、拉索面积等主要设计参数进行参数化分析，在此基础上采用响应面法进行公式拟合，建立可供设计使用的承载力计算式。

图1为两铰圆弧车辐拱的计算模型，图中f为拱的矢高，h表示索盘高度，即索盘中心到拱脚连线的垂直距离，L为拱的跨度，拱体截面面积为A，A1表示单根拉索截面面积。定义主要结构参数矢跨比γ(γ=f/L)、拱体长细比λ(λ=S/ix,S为拱轴长度)、拱索面积比m(m=A/A1)、拉索数量Nc(图1中Nc=11)。索盘高度h按照JGJ/T 249—2011《拱形钢结构技术规程》中的建议取0.5f。方便起见，拱体取圆管截面，尺寸为φ400×8。

图1 车辐拱计算模型

采用软件ANSYS 13.0建立有限元模型。拱体采用Beam 188梁单元，拉索采用Link 180只拉不压单元，以纯拱的一阶反对称屈曲模态作为初始缺陷的分布模态，缺陷幅值取为L/1 000。钢拱采用双折线弹塑性材料本构，弹性模量E=2.06×105MPa，切线模量Et=0.01E。拉索采用平行钢丝束，假定为线弹性材料，弹性模量Ec=1.95×105MPa。如无特殊说明，拱体钢材屈服强度取fy=345 MPa。

本节对车辐拱进行预应力影响分析。对于如图2所示的车辐拱基本计算模型，跨度L=80 m(对应面内长细比λ=170)，矢跨比γ=0.30、拱索面积比m=20、拉索数量Nc=6，采用迭代初应变法施加预应力，以结构的极限承载力和荷载-位移曲线为指标，对比预应力水平分别为0～500 MPa的车辐拱受力情况。

图2 预应力分析模型

有限元数值分析计算时，对于车辐拱施加初始预应力水平T后(通过对拉索施加初应变实现)，由于结构自身变形使得索力发生变化，最终索力将不等于目标张拉力T，故采用初应变法施加预应力时，一般应高于目标张拉力对应的理论初应变，之后再通过若干步迭代即通过不断修正所施加的初应变，使结构变形完成后的索力达到目标张拉力T。

车辐拱的拉索数量较多且汇交于索盘。由于索盘的受力平衡要求，不可能要求各根拉索的目标预应力均相同。一般地，在外荷载作用下可使拱和拉索先安装就位，只张拉连接索盘和拱脚的两根拉索，使其达到目标张拉力T，这个过程会引起索盘移动，从而给其他拉索也施加相应的预应力(不必等于T)。

以图2所示的车辐拱结构为例，张拉连接拱脚的拉索1和拉索6，迭代计算过程如图3所示。

图3 迭代法施加预应力

在第n次迭代完毕后，得到索力数组并对得到的索力进行误差分析，其中索力差值总和为，误差值。相关计算式如下：

(1)

(2)

当误差值满足收敛条件：

(3)

认为最终拉索张拉力达到了目标张拉力T，停止循环，若不满足，则下一次循环的初应力：

(4)

在半跨均布荷载作用下，对不同预应力水平的车辐拱进行有限元分析，承载力极限状态的变形和内力分布结果如图4所示(弯矩和变形均采用相对值，纯拱最大值定义为1.0)。结果表明：无预应力的车辐拱的最大弯矩幅值是纯拱结构的0.19，1/4跨竖向挠度仅是纯拱的1/16；有预应力的车辐拱的最大弯矩幅值是纯拱结构的0.18，1/4跨竖向挠度是纯拱的1/18。可见，相比纯拱结构，车辐拱中拉索的存在大大降低了拱肋中的内力峰值，提高了结构刚度，但拉索预应力的大小对内力和变形的影响不大。

a—纯拱变形；b—车辐拱变形(无预应力)；c—车辐拱变形(预应力400 MPa)；d—纯拱弯矩分布；e—车辐拱弯矩分布(无预应力)；f—车辐拱弯矩分布(预应力400 MPa)。

图4 半跨荷载下纯拱和车辐拱的弯矩及变形分布

车辐拱在全跨和半跨荷载作用下，不同预应力水平对应的荷载-位移曲线如图5所示，其中图5a中位移为加载半跨中点的竖向位移，图5b为拱顶的竖向位移。不难看出，预应力的存在对结构刚度有一定的影响，但对稳定承载力的影响不大。

图5 有、无预应力车辐拱的荷载-位移曲线

表1给出了预应力对极限承载力的影响结果对比，可知，最大影响仅为5.8%，与其他参数影响相比基本可以忽略。因此，实际施工中车辐拱的拉索可不施加预应力，而以张紧为宜，或根据拱脚推力调整的需求进行确定。

表1 有、无预应力车辐拱的稳定极限承载力对比

在不同矢跨比、拱体长细比、拱索面积比和拉索数量等参数条件下进行预应力影响分析，可得到类似结论，在此不赘述。故关于稳定承载力的后续计算中，可以保守地不再考虑预应力的影响。

影响车辐拱弹塑性稳定承载力的因素众多，同时考虑多个因素进行分析很难明确各个因素的影响规律。本节在全跨和半跨均布荷载作用下对车辐拱进行弹塑性稳定分析，研究矢跨比γ、拱索面积比m、拉索数量Nc这三个关键参数对车辐拱弹塑性稳定承载力的影响，计算过程中控制结构跨度不变(L=30 m)。通过总结不同参数水平下结构承载力的变化规律，提出优化的参数取值范围，为后续承载力计算式的提出奠定基础。

分别取拉索数量Nc=5，8，11，14，17，20，研究不同拱索面积比和矢跨比下拉索数量变化对弹塑性稳定承载力的影响。

图6给出了矢跨比γ=0.35的典型算例结果。可以看到，在各个拱索面积比下拉索数量对承载力的影响有相似规律：1)拉索数量取值为5时，随拱索面积比增大，承载力提高不大，特别是全跨荷载作用下。因此，车辐拱设计时拉索数目不宜过少。2)曲线斜率的变化代表着增加拉索单位数量时承载力的提高幅度，可见随着拉索数量的增加，承载力效率逐渐减小，这是因为此时拉索已能较好地控制结构变形，继续增加拉索不会带来明显的约束作用。3)拉索数量Nc=11是一个较为明显的转折点，再增加更多拉索时，承载力效率大幅降低，这一规律在半跨荷载作用下尤为明显。

图6 拉索数量-承载力曲线(γ=0.35)

在其他矢跨比和长细比下的结果类似。综上，对于车辐拱的稳定承载力，拉索数量不宜过小也不必过大。故建议取Nc=8～20，涵盖了工程常用范围。

在全跨和半跨均布荷载作用下，拱索面积比分别取5、10、15、20、25、30，研究弹塑性稳定承载力的变化规律。

矢跨比γ=0.4时，不同拉索数量下车辐拱的稳定承载力结果如图7所示。可知：在全跨和半跨荷载作用下，当拉索数量为5时，拱索面积比-承载力曲线几乎都是一条直线，这也充分说明了拉索数量不宜过小；拉索数量为8～20时，稳定承载力的总体变化趋势相同，均随着拱索面积比的减小即拉索面积的增大其承载力逐渐增大。工程实际中的工况多是以全跨均布荷载作用为主，考虑拉索制作施工等问题，建议拱索面积比取10～30。

图7 拱索面积比-承载力曲线(γ=0.4)

半跨荷载作用下矢跨比和弹塑性稳定承载力的关系如图8a所示：1)拉索数量为5～8时，随着矢跨比的增大，承载力先增大后减小，存在明显峰值，此时，矢跨比为0.25～0.35之间；2)拉索数量大于11后，矢跨比越大，承载力越高。这是由于矢跨比越大，拱体越容易变形，有利于拉索发挥其拉扯约束作用。不考虑拉索数量较小的情况，半跨荷载下车辐拱矢跨比取0.30～0.5时能获得较高的承载力。

图8 矢跨比-承载力曲线(m=15)

从图8b所示的全跨荷载作用下的稳定承载力变化曲线可以看到，任意拉索数量下随着矢跨比的增大，承载力均呈现出先增大后减小的变化规律，即存在一个最优矢跨比范围：在拉索数量较小时(Nc<8)，对应γ=0.15～0.25；随着拉索数量的增加(Nc≥8)，在γ=0.25～0.45之间获得较大的承载力。

结合两种荷载工况下的计算结果，建议车辐拱的矢跨比取0.20～0.50之间。

综上所述，实际设计和后续计算分析中，车辐拱各个参数的取值建议如表2所示。除前述分析涉及到的拉索数量、索拱面积比和矢跨比外，还需要考虑拱体长细比λ、索盘高度h的取值。其中索盘高度h按照JGJ/T 249—2011中的建议取优化值h=0.5f；由于长细比较大时，拱体变形较大，进而使拉索高效发挥作用，同时长细比过大，其刚度和承载力不易保证，因此本文建议取λ=120～200。

表2 车辐拱各参数的建议取值及依据

本节在上述参数范围的基础上，采用响应面法设计了30组代表性算例，对各个算例响应值的数值结果进行分析和拟合，得到车辐拱的弹塑性稳定承载力计算式。

响应面法(Response Surface Methodology, RSM)是一种用近似的函数关系式表示变量与目标函数之间关系的解决多变量问题的一种统计方法。该方法首先建立关键因素的若干试验组，得到各组试验的目标数据，然后采用多元二次回归方程拟合，得到因素与响应值的函数表达式。

以相同条件下对应纯拱的弹塑性稳定承载力为基准值，定义承载力增大系数：

(5)

式中：QCA、Q0分别为车辐拱和对应纯拱的弹塑性稳定承载力。

在第3节单因素分析的基础上，采用软件Design-Expert 10.0.4，选择拱索面积比、拉索数量、矢跨比、长细比这4个关键考察因素，涵盖表2中的取值范围，以车辐拱承载力增大系数为响应值，进行四因素(A、B、C、D)五水平(-2，-1，0，1，2)的算例设计，结果见表3。

表3 响应面算例设计因素水平

根据中心组合设计(Central Composite Design)原理结合表3中的参数条件，设计出表4所示30组算例。采用ANSYS计算车辐拱和相同条件下纯拱的弹塑性稳定承载力，得到对应的β值。

表4 响应面分析算例及结果

对表4的结果进行多元线性回归拟合，得到以拱索面积比m(A)、拉索数量Nc(B)、矢跨比γ(C)、长细比λ(D)为自变量的四元二次方程。

半跨荷载作用下：

全跨荷载作用下：

为了检验回归方程的有效性，进一步确认各因素对承载力增大系数的影响，对回归模型进行了方差分析，以半跨荷载下的结果为例进行说明，结果见表5。

表5 响应面法方差分析

P值大小表示该模型项的有效性，当P<0.05时表示该模型有效，P>0.1则表示该模型不重要。由表5可知，回归模型P<0.000 1，可见模型有效，结合其他各项的P值不难看出A、B、C、D、BC、B2、C2均为该回归模型中的重要项。模型的变异系数为2.05%，模型复合相关系数R2=0.936 0，校正决定系数差异小于0.2，均在合理范围内，说明响应值承载力增大系数和预测值之间有较好的拟合度，可以应用该回归模型对承载力增大系数进行分析和预测。

F值的大小可用于评价各因素对响应值影响的显著性，F值越大，表明该因素影响越显著。由表5可知，回归模型的F值为95.35，可见该模型极其显著。F(A)=109.31，F(B)=56.85，F(C)=645.89，F(D)=352.51，即各因素对承载力增大系数的影响顺序为：矢跨比>长细比>拱索面积比>拉索数量。

从上述方差分析可以看出，拟合式(6)中F值较小的一些项对响应值的影响不显著。根据方差分析结果中各项的显著性，去掉不重要项(P>0.1且F值很小)，并在误差可控范围内对保留项进行系数简化，简化后算式如下。

半跨荷载作用下：

全跨荷载作用下：

各组算例数据下原算式预测值、简化算式预测值与有限元计算值对比如图9所示，可以看出：全跨和半跨荷载下，原算式预测值和有限元计算值几乎没有差别，而去掉不显著项得到的简化算式预测值在多数情况下是小于原公式计算值和有限元计算值的。

a—半跨荷载；b—全跨荷载。原算式；简化算式。图9 算式预测值与有限元计算值的误差

从图9的误差数值来看，在全跨和半跨荷载下，采用简化算式计算会使承载力增大系数有所降低，且多数情况下降低幅度在20%以内，略微低估结构的承载能力，因此可以偏于保守地在设计中预测结构的稳定承载力。

上述计算针对Q345钢材。拟合式是否适用于Q235、Q390等不同强度钢材的车辐拱，还有待验证。

图10总结了采用三种不同钢材时，有限元计算得到的承载力增大系数相对于简化式计算值的误差百分率。可以看到：各组算例结果非常接近，整体表现出Q235的有限元计算值微高于Q345计算值，Q390的计算结果与Q345计算值基本一致的特点。

a—半跨荷载；b—全跨荷载。Q235；Q345；Q390。图10 各算例组的误差百分率

从数值上来看，多数情况下误差百分率基本为正，也就是说简化式低估了β值，采用Q235钢材时有限元计算值与算式计算值误差最大，但最大误差基本不超过20%。总的来说，钢材屈服强度对计算结果的影响不大，本文的计算式对不同强度的钢材均适用。

本文以两端铰接圆弧形车辐拱结构为研究对象，考察其在全跨和半跨均布荷载作用下的面内弹塑性稳定性能，主要包括预应力影响分析、结构参数对承载力的影响分析，提出了一种基于响应面法以纯拱稳定承载力为基础的车辐拱弹塑性稳定承载力计算方法。主要结论如下：

1)从荷载-位移曲线和极限承载力大小来看预应力对车辐拱的影响不大，可忽略不计，车辐拱结构的拉索在施工时可不施加预应力，以张紧为宜。

2)对车辐拱结构的3个构型参数，即拉索数量、拱索面积比和矢跨比进行参数化分析，可求得各个参数的较优取值范围(拉索数量建议取8～20根、拱索面积比取10～30、矢跨比取0.20～0.50)。

3)采用响应面法设计了30组算例，考察了主要构造参数对车辐拱结构弹塑性稳定承载力的影响，结果表明，矢跨比对承载力的影响最为显著，长细比次之，拱索面积比和拉索数量的影响相对较小。

4)采用Design-Expert 10.0.4软件中的二次回归模型进行算式拟合，并根据各项影响的显著性对算式进行简化及适用性验证，得出了可供设计使用的车辐拱面内弹塑性稳定承载力的计算式。

来源：窦超, 成乐, 韩杏萍, 等. 两铰圆弧车辐钢拱平面内弹塑性稳定设计[J]. 钢结构（中英文）, 2020, 35(9): 17-25.

doi: 10.13206/j.gjgS20040501