图1 无环索预应力索杆体系示意

图2 多层无环索预应力索杆体系示意

1基本理论

1.1无环索弦支穹顶结构的特点

结构内部所储存的应变能表征结构的广义刚度，结构形态的合理性可以用结构内部所储存的应变能进行评价。索穹顶等柔性结构依靠预应力提供初始刚度，在发生断索后通常伴随着拉索松弛，结构应变能下降；框架结构等刚性结构在发生构件的局部破坏时通常伴随着内力的增大以及结构应变能增加。无环索弦支穹顶结构为刚-柔组合结构，在下部拉索断裂后，下部LPCS应变能下降，而上部网壳应变能增加。因此，以结构总应变能为重要性评价指标变得困难。

LPCS施加预应力后可产生与自重方向相反的变形，通过对LPCS预应力值的调整可以改变上部网壳的荷载效应。LPCS的布置是否合理及其几何形态和预应力分布的优化均可看成是对上部单层网壳受力状态的调整，断索或索力松弛的影响也在很大程度上表现为上部单层网壳的受力状态变化。综上所述，利用上部单层网壳的应变能变化表征局部断索后结构整体刚度的波动有合理性。

1.2 评价指标

1.2.1 网壳杆件应变能变化率

无环索弦支穹顶结构上部网壳杆件应变能包括轴力应变能、弯矩应变能及剪切应变能。由于杆件为长细杆，剪切应变能可不计，所以网壳杆件的应变能实际上由轴力应变能与弯矩应变能组成。根据能量守恒原理，在静荷载作用下网壳杆件应变能等于外荷载对杆件做的功W，由式（1）求得。

式中：F为杆件所受轴力；ΔL为F产生的伸长量；M为杆件所受弯矩；θ为杆两端截面上相对转角。ΔL与θ分别由式（2a）、（2b）求得。

（2a）

(2b)

式中：L、E、A、I分别为杆件初始几何长度、弹性模量、截面面积及截面惯性矩。由于网壳杆件所受弯矩及其截面惯性矩沿轴的方向为常数，则网壳杆件应变能可进一步由式（3a）表达。由于结构下部预应力索杆体系只承受轴力，因此拉索及撑杆应变能可由（3b）表达。

(3a)

(3b)

局部断索引起网壳的内力重分布，网壳杆件应变能变化率由式（4）求得。

（4）

式中：为断索前荷载态下的网壳杆件应变能；为断索后新平衡态下网壳杆件应变能；i为杆件编号。

1.2.2 网壳总应变能变化率

无环索弦支穹顶结构上部网壳的总应变能U由式（5）求得。

（5）

式中：n为杆件总数；i为杆件编号。网壳总应变能变化率由式（6）求得。

（6）

式中：k为拉索所在的LPCS层编号；U0为断索前荷载态下网壳总应变能；U1为断索后某一时刻网壳总应变能；Umax为断索后网壳应变能峰值，ΔUmax为断索后网壳总应变能峰值与断索前荷载态下网壳总应变能之差，可由式（7）求得。

(7)

1.2.3 杆件应变能变化率标准差

采用网壳杆件应变能变化率标准差表征断索后网壳各部分杆件分布均匀程度。由式（8）求得。

（8）

式中：μ为的平均值。

1.3 拉索重要性评价方法

根据不同位置拉索破断后，新平衡态下网壳总应变能变化率λk、网壳总应变能峰值Umax、及网壳杆件的应变能变化率标准差等多项指标对无环索弦支穹顶结构拉索重要性进行综合评价，具体步骤如下：

第一步，执行结构单根索破断的动力响应分析。如果发生连续倒塌，则将该拉索归为结构敏感构件，其重要性应排在首位或并列排在首位；如果未发生连续倒塌，则获取网壳杆件的内力时程、网壳节点的位移时程，并执行第二步。

第二步，根据式（3a）和（3b）分别求得杆件应变能时程及其变化率；根据式（6）求出网壳总应变能时程及其变化率。网壳总应变能变化率越大，相应拉索的重要性越高。当网壳总应变能变化率较为接近时，还应执行第三步。

第三步，根据式（7）、（8）求得、ΔUmax，根据式（4）绘制杆件应变能变化率分布云图。反映了网壳杆件应变能变化率的均匀程度，Umax反映了网壳总应变能振荡幅度的大小。及Umax越大，相应的拉索重要性越高。杆件应变能变化率分布云图可直观显示网壳不同位置的杆件应变能变化情况。

1.4 断索分析方法

预应力空间结构体系在发生局部断索后的结构响应一般伴随着大变形、强非线性等力学行为，是复杂的动力学问题。根据显式动力学原理，采用基于中心差分法积分模式的拉格朗日列式增量解法求解无环索弦支穹顶结构局部断索全过程的结构动力时程。具体采用了ANSYS/LS-DYNA有限元软件进行分析，上部网壳杆件采用Beam161单元模拟，撑杆采用Link160单元，拉索采用Link167单元，通过定义初应变的方式施加预应力。网壳杆件和撑杆采用Plastic Kinematic材料模型；拉索采用cable材料模型。

在结构设计和施工过程中，无环索弦支穹顶结构一共经历三种状态，包括零状态、预应力态、荷载态。在断索前，需要对结构进行找形分析，以获得预应力态，然后再施加荷载，获得荷载态，如图3中20~30s所示。在30s时，利用软件重启动功能可瞬时移除某根拉索，在拉索断裂后，结构会发生剧烈振动，若结构并未发生连续倒塌，则结构可以逐渐恢复稳定并达到新的平衡状态，如图3中30~40s所示。k1-1、k2-1、k3-1的位置如图4所示。

图3凯威特-联方型网壳总应变能时程曲线

2算例分析

以直径100m、矢跨比1/10的无环索弦支穹顶结构为研究对象，如图4所示。结构上部为单层网壳，本文主要考虑两种网壳形式，包括凯威特-联方型及施威德勒型网壳，网壳杆件的截面规格主要为φ219×12、φ219×6.5型钢管，材料为Q355B；下部预应力索杆体系由三层NLCS组成。除最外层NLCS撑杆截面规格为φ180×12型钢管外，其余各层撑杆截面规格均为φ180×5型，材料为Q355B；三层拉索的截面规格由外向内分别为φ70、φ20、φ12型实腹截面，极限抗拉强度标准值1670Mpa，弹性模量为1.8×MPa。网壳杆件采用刚接节点连接，撑杆与拉索采用铰接节点，在网壳最外圈节点设置径向可滑移铰支座，三层NLCS的预应力自外向内分别为1060kN、258kN、54kN。杆件自重通过定义重力加速度在软件中自动计算，外荷载为0.8kN/m2等效为集中力施加在上部网壳节点。

对每种模型设计七种断索方案对结构进行断索分析，每种方案都只考虑单根索断裂的情况，两种模型的断索位置如图4中所示。k1-1（s1-1），k1-2（s1-2）和k1-3（s1-3）为最外层索，k2-1（s2-1）和k2-2（s2-2）为第二层索， k3-1（s3-1）和k3-2（s3-2）为最内层索。

图4 无环索弦支穹顶结构计算模型

3拉索重要性评价

3.1 网壳总应变能变化率分析

首先，根据断索后新平衡态与断索前荷载态下网壳总应变能，计算得到7种断索方案的，由式（3b）可知拉索的初始应变能主要由预应力、长度、截面面积及弹性模量确定，通常会通过调整拉索预应力及截面面积以改善结构上部网壳性能。因此本文分析了两种模型在不同拉索截面面积及预应力大小下7种断索方案的，分别如图5、6所示，图中A0为两种模型中所有拉索的设计截面面积向量，P0为所有拉索设计预应力向量。

图5 不同拉索截面面积相同预应力大小下的

图6 不同拉索预应力大小相同截面面积下的

图5为在不同拉索截面面积、相同预应力下两种模型的7种断索方案的，图5a和图5b中的变化规律几乎相同。当横截面积的比例因子为0.8和0.9时，方案k2-1和k2-2下在第一种模型中最大，方案s2-1和s2-2下在第二模型中也最大。但是，随着比例因子的增加，方案k1-1，k1-2和k1-3下增长速度比第一个模型中的其他方案快得多，方案s1-1，s1-2和s1-3下的增长速度也比第二个模型中的其他方案快得多。当比例因子大于1.0时，方案k1-1和k1-2下在第一种模型中最大，方案s1-1和s1-2的在第二种模型中最大。这表明基于的拉索重要性评价结果可能会随着横截面积的变化而变化。

图6为在不同拉索预应力大小、相同的拉索截面面积下两种模型的7种断索方案的。如图6a所示，随着预应力的比例因子的增加，方案k1-1，k1-2和k1-3的增长最快，而k2-1和k2-2的增长慢得多，并且在第一个模型中，方案k3-1和k3-2的保持稳定。图6b所示的趋势与图6a一致。方案之间的的差距随着预应力大小的比例因子的增加而明显增加。根据对上述的分析，发现利用上部网壳的总应变能变化率作为无环索弦支穹顶结构的拉索重要性评价指标并不理想。

3.2 网壳应变能峰值分析

网壳的总应变能变化峰值ΔUmax可由式（7）求得。图7和图8分别为两个模型在不同拉索截面面积及预应力大小下7个断索方案的ΔUmax。图7a和图7b均显示，不同断索方案下ΔUmax不会随拉索截面面积的变化而变化。图8a和图8b均表明，不同断索方案下ΔUmax不会随拉索预应力大小的变化而变化。图7和图8均表明，不同的断索方案下ΔUmax不会随网壳类型而变化。这表明对于无环索弦支穹顶结构而言，网壳总应变能变化峰值是一个合理的拉索重要性评价指标。

图7 不同拉索截面面积相同预应力大小下的ΔUmax

图8 不同拉索预应力大小相同截面面积下的ΔUmax

由图7a可知在方案k1-1，k1-2和k1-3下ΔUmax相同，约为4.0×J；方案k2-1和k2-2的ΔUmax相同，约为1.3 ×J；方案k3-1和k3-2的ΔUmax相同，约为0。k1-1，k1-2和k1-3分别为最外层索中不同位置的索，k2-1和k1-2分别为第二层索中不同位置的索，k3-1和k3-2分别为最内层索中不同位置的索，图7b与图7a变化规律一致。结果表明，不同层拉索的重要性从最外层到最内层明显下降。但是，同层索、不同段之间的拉索重要性排序仍需通过补充指标来进行评价。

3.3 网壳杆件应变能变化率标准差

以结构达到新平衡状态时网壳所有杆件应变能变化率为总体，计算两种模型不同断索方案的，如图9、10所示。

图9 不同拉索截面面积相同预应力大小下的

图9a和图9b均表明，不同断索方案的不会随拉索截面面积的变化而变化。图10a和图10b均表明，不同断索方案的不会随拉索预应力大小的变化而变化。图9和图10均表明，不同断索方案的不会随网壳类型变化而变化。以上现象均表明可作为无环索弦支穹顶结构的合理的拉索重要性补充评价指标。

图10 不同拉索预应力大小相同截面面积下的

由图9a、图10a可知，最外层索中，拉索k1-1与k1-2断裂的几乎相同，约为0.44，并且k1-1断裂的在所有断索方案中最高，略微大于k1-2。拉索k1-1和k1-2断裂后，网壳杆件的应变能变化率分布的均匀性较k1-3差。这表明最外层索中k1-1和k1-2的重要性较k1-3偏高。该现象主要是由于拉索在同层索中所处的位置不同：k1-3位于中间，k1-3断裂后，整根拉索会被分成两个对称的部分，内力会均匀的向两侧传递；但是k1-1和k1-2位于整个拉索的一侧，k1-1破裂后，整根拉索仍然是一个整体，内力会向一侧传递；k1-2断裂后，整根拉索会分成两部分，但内力会不均匀的向两侧传递。k2-1和k2-2的几乎相同，约为0.27，k3-1和k3-2的几乎相同，由于第二层和第三层中的内力比第一层小得多，因此，因位置差异对大小的影响在第二层和第三层拉索中不明显。图9b和图10b所示的结果与图9a和图9b一致，网壳类型不会影响拉索重要性排序结果。结果表明：对于不同层拉索，基于ΔUmax的拉索重要性排序与根据的拉索重要性排序结果几乎一致；在两个指标之间，有关最外层不同位置的拉索重要性排序结果可能略有不同，且外侧拉索比内侧拉索的重要性较高。但是，只能反映网壳杆件应变能变化率的离散情况，它不能描述网壳杆件应变能变化率在不同位置的分布情况。

3.4 网壳杆件应变能变化率分布云图

根据所有网壳杆件的应变能变化率，绘制了7种断索方案的应变能变化率云图，以表示不同断索方案的网壳杆件应变能变化率的分布情况。由于拉索在相同层中不同位置的重要性大致相同，因此图11中仅绘制了每个模型中的三个云图，以表示三种断索方案杆件应变能变化率的分布情况。在图11中，正变化率表示应变能增加，负值则相反，虚线表示断索位置。

图11 网壳应变能变化率云图

图11a显示，三个区域的网壳杆件应变能增加明显，一个是在断索正上方的区域，另外两处是在断索两端附近的区域。拉索断裂后，与其连接的撑杆中的力减小，由于撑杆的支持力降低，断索上部网壳的应变能增加，而支座设置在网壳最外层节点处，因此，最外层拉索对于维持结构的自平衡状态至关重要。在最外层拉索断裂的两端附近的区域中，网壳杆件的应变能增加，这是因为由于断索打破了原本的自平衡状态，图11d中显示的结果与图11a一致。图11b表明，断索主要影响了上部网壳的三个区域，包括断索上方的区域和断索两端附近的区域，具体原因与上文所述原因类似，图11e所示的结果与图11b一致。图11c显示，k3层拉索断裂，只有断索上方的一小部分受到轻微影响。最外层断索，网壳受影响的面积最大，第二层次之，第三层最小，这种现象是由于不同层拉索中预应力不同。受断索影响的区域主要限于断索附近的局部区域，并且结构的主要部分没有受到明显影响，该结果表明：无环索弦支穹顶结构具有良好的抗连续倒塌性能；图11a和图11d均表明某些网壳杆件应变能增加了近500％，这是由于大多数这些网壳杆件在断索之前的应变能非常小，但在结构设计中也应更加关注这些杆件；此外，由图11可知，断索对两种网壳形式的无环索弦支穹顶结构的影响没有明显区别。

本文通过将网壳总应变能变化的峰值及网壳杆件应变能变化率标准差两项指标相结合，提出了一种改进应变能法对无环索弦支穹顶结构进行拉索重要性排序，主要结论如下：

1）基于断索后新平衡状态与断索前荷载态之间的网壳应变能变化率的方法，对无环索弦支穹顶结构进行拉索重要性评价结果并不理想，评价结果会随拉索预应力的大小及截面面积的变化而变化。

2）基于网壳总应变能变化峰值和网壳杆件应变能变化率标准差提出的改进应变能方法，对于无环索弦支穹顶结构的拉索重要性评价是可行的。

3）对于最外层拉索，由于断索后拉索的不对称收缩，因此中间段拉索的重要性略低于其他拉索；而由于不对称收缩效果不明显，因此其他层中不同段拉索的重要性几乎相同；不同层拉索的重要性从最外层到最内层下降。

4）断索后，应变能增加的网壳杆件主要分布在断索附近区域，对距离断索区域较远的网壳杆件影响很小；断索对结构造成的影响仅限于局部区域，并且结构主体部分没有受到明显影响。

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1.http://gjg.ic-mag.com/cn/article/doi/10.13206/j.gjgSE20041903（注册登录免费获取）

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3.http://cstm.cnki.net/stmt/TitleBrowse/KnowledgeNet/GJIG202007004?db=STMJTEMP

作者简介

薛素铎

北京工业大学 教授

《钢结构（中英文）》编委

北京工业大学空间结构研究中心主任，教授，博士生导师。享受国务院政府特殊津贴专家，北京高校拔尖创新人才，北京市教学名师，北京市高层次创新创业人才支持计划领军人才，国家级精品课程和国家级精品资源共享课主持人。兼任国际壳体与空间结构学会（IASS）执委，中国钢结构协会空间结构分会理事长，膜结构专业委员会主任委员，中国土木工程学会空间结构委员会副主任委员，《空间结构》杂志副主编，中国钢结构协会常务理事、专家委员会专家等。

多年从事大跨度空间结构、结构抗震与减振控制研究，主持完成40余项国家级和省部级科研项目，多项研究成果达到国际先进或领先水平。已出版著作、教材8部，获国家专利50余项，发表学术论文300余篇。主持和参与了多项国家标准、规程的编制工作，参与数十项大型空间结构工程的咨询、研究、设计与评审。先后获国家科技进步三等奖1项、北京市科技进步二等奖2项和北京市科学技术奖二等奖2项，获国家级教学成果奖二等奖2项、北京市教育教学成果奖一等奖5项。培养博、硕士研究生100余名。

李雄彦

北京工业大学 教授、博士生导师

男，1973年生，博士，北京工业大学教授，博士生导师，国家一级注册结构工程师。兼任中国钢结构协会空间结构分会副秘书长、膜结构专业组委员、国际薄壳与空间结构协会会员。目前主要从事大跨空间结构抗震、隔震和新体系，以及液化天然气（LNG）储罐、储能热罐设计与建造关键技术研究。主持国家自然科学基金面上项目3项、北京市自然科学基金面上项目2项、北京市教委计划面上项目、北京市委组织部优秀人才项目、企业委托课题等多项科研项目的研究。发表学术论文80余篇，出版编著、译著各1部，参编规程5部，获国家发明专利和软件著作权20余项。

刘人杰

烟台大学 副教授、硕士生导师

男，1988年生，博士，烟台大学副教授，硕士生导师，烟台大学建筑结构教研室主任，烟台市绿色节能集成建筑重点实验室副主任，国际壳体与空间结构协会会员，中国钢结构协会空间结构分会会员代表。主要从事预应力空间结构理论及应用研究、绿色节能集成建筑设计及关键技术研究。主持山东省自然科学基金青年项目1项、烟台大学实验室开放基金项目2项、企事业委托课题3项，作为骨干成员承担国家自然科学基金4项、省部级纵向课题2项。发表学术论文30余篇，SCI、EI检索10余篇，取得国家发明专利授权8项，取得软件著作权授权10项。

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