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第2章地震基础工程
2.1结构的重要动力特性是什么？
一个结构在地震中变形的数量和方式，称为它的反应，是地面震动强度和动力特性的函数，也是结构本身的函数。结构地震反应的主要动力特性是结构的模态特性和阻尼。
最简单的结构类型是所谓的单自由度结构。单自由度结构的所有质量都集中在一个位置上，而这个质量只能在一个平面上移动。单自由度结构的经典模型由悬臂柱顶部的单个集中质量M组成。图2-1代表了这样一个模型。如图所示，如果一个力F被静态地施加在质量上，柱将发生横向变形，从而使质量物在所施加力的方向上发生位移。如果柱的刚度为K，它将偏转为位移x，如等式2-1所示。
图2-1单自由度结构的数学模型
如果质量保持平衡，柱将承受与施加的外力F相等且相反的剪切力。如果该力突然被移除，结构将继续对质量施加一个力–F，这将导致质量加速回到其静止位置。当质量向后移动到中心位置时，柱中的力将减小，直到质量移动到初始静止位置时，柱将没有剪力。然而，质量，现在有惯性，将继续通过和离开初始静止位置，在一个相反的方向，原来的作用力。在此过程中，立柱将开始对与运动方向相反的质量施加剪切力，并减慢质量，直到最终在–x位置静止。同样，立柱中的力将使质量加速回到初始静止位置，引起来回振动，最大振幅为+x和–x在方程式2-2给出的唯一自然频率下。
在这个方程中，W是质量M的重量，g是重力引起的加速度，频率f以周期/秒为单位。
在地震工程中，通常使用频率的倒数，称为周期，即结构从+x到–x到+x经历一个完整的自由振动周期所需的时间（以秒为单位）。这个周期通常用符号T表示，由公式2-3确定。
真实的建筑物在每一层至少有三个重要的动态自由度，包括两个正交方向上的水平平移自由度和围绕垂直轴的旋转自由度。具有正交抗震体系、质心和刚度重合的单层结构可以精确地表示为一系列的两个单自由度模型，每一个模型都代表了建筑物在一个抗侧力方向上的行为。在这种模型中，屋顶、安装在屋顶上的设备和吊顶的重量以及上半部分墙壁的重量被认为集中在屋顶的质量中心。分别计算两个正交方向的刚度，方程2-3可用于确定结构在每个响应方向上的周期。
多层结构必须视为多自由度结构。与单层结构一样，如果各层的刚度中心和质量中心重合，并且从一层到另一层垂直对齐，则通常可以忽略扭振自由度。这种结构的地震反应可以用一个杆模型计算，每层的质量集中在一个点上，每层的抗震系统的刚度可以用一个平动弹簧来表示，如图2-2所示的三层结构。
图2-2 三层结构的多自由度模型
对于每个自由度j，多自由度结构将有一个固有振动模式i。每个振动模式将有一个独特的周期Ti和一个独特的变形形状，即，它将经历自由振动。这些变形的形状称为振型。图2-3说明了图2-2所示三层结构的三种振型。
图2-3三自由度结构的典型振型
每个模式的位移形状通常被组合成一个模态形状向量，用符号φi表示，其中i是模式编号。通常将i=1的值指定给具有最低固有频率（和最长周期）的模式。该向量中的条目是相对变形形状位移，φi,j，其中i是模式数，j是自由度数。模态形状向量ɕi可以规范化为任何值；但是，通常的做法是将形状向量正规化，使得数量ɕit Mɕi具有统一的值。M是结构的质量矩阵，它是一个有条目（m1，m2，…，mn）的对角矩阵，其中每个量mj是自由度j下的质量。
在多自由度多自由度结构的任何自然模式形状中，一些质量比其他质量移动得多。因此，在特定振型的振动过程中，只有一部分结构的质量被有效地调动起来。模式i的有效或模态质量Mi由方程2-4确定。
在该方程中，mj是j自由度处的集中质量，而ψi是j自由度下模态i的相对变形形状位移。结构所有模态的模态质量之和等于结构的总质量。
分析结构地震反应的一种简便方法是将结构分析为一系列单自由度结构，每个结构都具有结构固有模态之一的模态质量Mi和周期Ti。一般来说，如果对足够多的振型进行了评估，使得每种振型的模态质量之和Mi至少等于结构总质量的90%，则认为这种分析形式足够准确。当进行这种类型的分析时，有必要通过参与系数α（由等式2-5给出）对每种分析模式的结果进行转换。
(2-6)
在该方程中，ψi，n是模式i的最大相对变形形状位移，其他量如前所述。
在地震分析中，最后一个重要的动力特性是结构的有效阻尼。阻尼是所有结构固有的一种能量耗散形式。在经典动力学理论中，阻尼被视为一种粘滞形式的能量耗散，与结构在任何时刻的速度成正比。结构的滞回损失，在结构中也被称为非弹性能量耗散函数。建筑物阻尼的来源包括非结构构件的耗能、螺栓连接处的摩擦耗能和结构构件的屈服。
通常用临界阻尼的分数来表示结构的阻尼。临界阻尼是将结构从其位置移开，然后释放到其原始未位移位置而无振动所需的最小阻尼量。对于单自由度结构，临界阻尼Cc由方程2-6给出。
当对建筑物对地震震动的响应进行线性或弹性分析时，通常假定其固有的临界阻尼为5%。实际上，大多数钢结构在弹性工作时的阻尼比这个要小。实际可调动的阻尼量取决于许多因素，包括振动的振幅和发生的损坏量（如有的）。
