【DINO爱编程】几何_用菱形填充正六边形问题

【数学原理】Tiling a Hexagon with Diamonds

图形程序的下载地址：Tiling a Hexagon with Diamonds.zip

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
  

文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

为了证明这个原理，通过Pascal进行编程生成不同的菱形布置情况，通过不同的颜色展示，你会发现这个二维铺砖问题变成了一个三维模型生成的问题，而这些模型非常像城市规划或建筑师布置塔楼与裙房方案的试算。还有一个特点就是生成的三维模型不存在上部大而下部小的情况，都是稳定的长方体布置。一个从二维问题变成三维布置的“升维”。

生成填满菱形的正六边形的编程关键在于格子的二维化，我采用二维坐标记录这些三角形格子，有纵横坐标，三种不同填充对应三种相邻关系（奇偶行情况不同），如图所示。

这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur’s Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。以下附上动画与相关的图案。