应用局部应力应变法来预测疲劳裂纹的形成寿命，首先要通过实际的荷载谱和材料的循环应力-应变响应曲线推算得到应力最大处的局部应力应变谱；然后根据应变-寿命曲线得到不同循环荷载下构件的疲劳寿命并将当前的循环次数折算成相应的疲劳损伤；最后用Miner线性累计损伤理论得到构件的疲劳裂纹形成寿命，具体的过程如图1所示。

图1 局部应力应变法计算流程

1.1修正Neuber法

有缺口构件的危险区域在缺口根部，而Neuber法的基本假设为“若缺口根部承受与光滑件相同的应力应变历程，则将发生与光滑件相同的疲劳损伤”。

当缺口根部材料仍处于弹性范围时，缺口的局部应力、应变分别为：

式中：Kt为弹性应力集中系数；σ为缺口局部应力；S为名义应力；ε为缺口局部应变；e为名义应变。

当缺口根部进入塑性屈服范围时，缺口局部应力、应变分别为：

式中: Kσ为应力集中系数; Kε为应变集中系数。

在中低周疲劳荷载作用下，当缺口根部材料进

入塑性屈服时，Neuber 理论假定:

两端同时乘以Se，就可以得到局部应力应变与名义应力应变之间的关系：

式(4)成立的前提条件为弹性应力集中系数Kt能够很好地描述缺口处应力集中程度，但实际上弹性应力集中系数Kt只依赖于构件的几何形状，没有考虑到构件材料性能的影响。所以修正Neuber法采用疲劳缺口系数Kf(有效应力集中系数)来代替Kt：

式中：Δσ为缺口局部应力幅；Δε为缺口局部应变幅；ΔS为名义应力幅；E为材料的弹性模量。

1.2材料循环应力-应变响应

材料的循环应力-应变曲线是根据不同恒幅应变对称循环控制下的一系列稳态滞后环顶点的连线所得的，反映了不同应变幅下的应力幅响应。参考Remberg-Osgood弹塑性应力-应变关系式，应变幅包括弹性应变幅和塑性应变幅两部分，计算式为：

式中：εe为弹性应变幅；εp为塑性应变幅；E为材料弹性模量；K′为循环强度系数，具有应力量纲MPa；n′为循环应变硬化指数。

材料的循环应力-应变曲线反映的是不同应变幅控制下，循环稳定时的应力幅，并不能反映实际的应力-应变加载路径。反映加载路径的为滞后环曲线，假设滞后环曲线与循环应力-应变曲线几何相似可以得到滞后环曲线式为：

使用材料的循环应力-应变曲线和滞后环曲线式，联合修正Neuber法中局部应力与局部应变的关系可以计算得到构件缺口处的局部应力应变，且能够考虑到荷载加载顺序的影响。

1.3疲劳缺口系数Kf

疲劳缺口系数Kf的定义为光滑试件疲劳极限与缺口试件疲劳极限的比值:

式中：Sf为光滑试件疲劳极限；Sf′为缺口试件疲劳极限。

在实际工程和试验计算中，很难直接测量疲劳缺口系数Kf，所以通常由弹性应力集中系数Kt推导得到Kf。工程中常用的方法是由Neuber-Kuhn经验式来估计一个恒定不变的Kf：

式中：a为材料的特征长度，其大小与材料类型和极限强度大小有关；r为缺口根部半径。

但实际上Kf受到材料性能、缺口根部塑性变形εp和应力集中系数Kt的影响，是一个随着荷载增大而减小的值，且钢结构疲劳裂纹形成寿命对其很敏感，准确地估计Kf随荷载变化的大小对预估裂纹形成寿命尤为重要。

Molski和Glinka提出缺口根部存在塑性变形时，局部应变能密度ΔWσ与名义应变能密度ΔWs之比为理论应力集中因子的平方,即有：

名义应力应变一般处于线弹性范围内，名义应变能密度ΔWS可求解为：

局部应变能密度ΔWσ为：

将式(11)和式(12)代入式(10)中得到：

把滞后环曲线中Δεe和Δεp式代入式(13)，可将其化简为：

再将修正Neuber式(5)代入式(14)，可化简得到：

由于Δεp和Δε在试验之前很难获得，联立方程求解过程太过复杂，并不能方便地运用在实际工程计算中，所以本文将Δεp和Δε替换为更容易得到的名义弹性变变ep和名义应变e进行计算，两者比值比较接近，且随着名义应力增大两比值范围都从0逐渐收敛到1，将其代入式(15)化简可得：

由式(16)可以发现，疲劳缺口系数Kf与应力集中系数Kt、材料参数n′、K′和当前应力水平有关，与已有研究的结论相符。为了验证本文基于能量方法提出的Kf计算方法的准确性，参考相关文献中的研究方法和案例，将其得到的Kf–S曲线与式(16)得到的曲线进行对比，结果如图2所示。

图2Kf-S曲线对比

从图2中发现当名义应力较小时，疲劳缺口系数Kf基本保持不变，随着名义应力增大，Kf逐渐减小，这与试验曲线趋势是一致的。由于能量方法考虑了塑性应变滞后能的影响，疲劳缺口系数Kf小于应力集中系数Kt，这也使得计算得到的局部应力应变值低于Neuber准则的计算结果，避免了疲劳裂纹初始寿命过于保守。

同时从图2中可以看出相关文献统计的曲线和实例计算曲线比较接近，本文的计算曲线与实际计算曲线之间的误差较小，不超过10%，最小值比较接近，能够较好地估算疲劳缺口系数Kf的值。

1.4应变-寿命曲线及修正

应变-寿命曲线反映的是构件应变幅与疲劳寿命的关系，应用较多的是美国汽车工程师协会(SAE)疲劳设计手册中的Morrow经验式：

式中：εa为局部应变幅；σf′为疲劳强度系数；σm为局部应力平均值；b为疲劳强度指数；εf′为疲劳延性系数；c为疲劳延性指数；N为疲劳寿命。

将局部应变幅εa分为弹性应变幅εea和塑性应变幅εpa，分别有：

通常局部应力应变法更多地应用于低周疲劳寿命的计算，在1.3节中针对应力水平较高时的Kf进行了计算，提高了低周疲劳寿命的计算精度。对于疲劳寿命大于105的中高周疲劳，局部应变幅εa中以弹性应变幅为主，塑性应变幅影响较小，弹性变形占主导地位，Kf变化不大且接近于弹性应力集中系数Kt，若想使局部应力应变法适用于中高周疲劳的寿命计算，只需要对弹性应变幅中参数进行修正即可。修正前后各曲线如图3所示。

图3 应变-寿命曲线及其修正曲线

B点纵坐标为：

式中：σ1为对称应力循环下的缺口局部应力幅；S1为对称应力循环下的名义应力幅。

将局部应力应变法推广到高周疲劳时，疲劳寿命为107次所对应的缺口根部应力水平较低，处于弹性变形阶段，所以此时C点对应的纵坐标为：

式中：b*为修正后的疲劳强度指数；N为107次。

将式(12)与式(13)联立可得：

将修正后的疲劳强度指数b*代入式(17)中即可兼顾低周疲劳和中高周疲劳裂纹形成寿命的计算，用相应荷载对应的循环次数除以疲劳寿命可以得到构件的疲劳损伤，进而用Miner线性累积损伤理论计算出构件在此荷载谱下的疲劳寿命。