本文转载自公众号青年建筑（id:i80arch）

作者：青年建筑璐璐

数理科学是大自然的基础语言，很早就被人运用到建筑设计的领域中。主要用于生成各种不同的建筑形式。

欧几里得几何由于便于测量与建造，是人类营造中最为古老的几何学应用。但是，随着人类对空间维度的思考，又发展了其他的几何学理论，并且对建筑设计的创新发展起到了很大的促进作用。

维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目，但通常人们习惯于整数的维数。在欧氏空间中，人们习惯把点认为是零维的，直线或曲线看成一维，空间看成三维的。其实，稍加推广，还可以引入分维、高维空间，以便于研究更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应即可。

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欧几里得几何

欧氏几何主要研究平面上的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。在建筑领域中，方形、圆形、三角形与六边形是比较常用的几何图形。这些图形明显地具有内聚性，且中心与边缘存在着等距的向心关系，本质上是静态的。主要运用于二维平面与三维空间的设计上。

埃克赛特图书馆

作为路易斯康的经典之作，表达了极强的几何感，对称感，呈现出一种理性的美。外表方正、内部分隔出阅览、藏书、中庭三层结构。中庭的墙面上挖了4个巨型圆洞，人与巨型圆洞在尺度上形成鲜明对比，显示出人的渺小。阅览区的三角形独立座位，划分出静谧的私人空间。方形、圆形、三角形在这部作品里的运用，营造出一种静态的空间氛围，非常符合图书馆空间的设计需求。

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黎曼几何

德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。黎曼几何是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广，与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理（在黎曼几何学中不承认平行线的存在。基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)；直线可以无限延长，但总的长度是有限的）。

黎曼几何将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。黎曼几何将空间维度扩展到了四维甚至更高的维度。

在建筑领域中，黎曼几何在扎哈的建筑作品运用的比较多。擅长用曲线做设计的扎哈，她的作品总是会带给人极强的视觉冲击力，人们往往惊叹于建筑灵动而和谐的美感。其实，扎哈是将由黎曼几何得来的“叶状结构”在建筑上做了各种创作。

叶状结构：就是将曲面分解成一族曲线，每根曲线被称为是一片叶子，叶子层叠在一起构成原来曲面。这样，扎哈的很多作品都可以用这个几何逻辑去分析，加深人们对于建筑的理解与分析。

北京大兴国际机场

以扎哈的北京大兴国际机场为例。如果我们从空中鸟瞰大兴机场的棚顶结构，会觉得有点儿酷似六芒星的结构。但是，如果我们对它的曲面进行划分，可以发现，这座建筑也是由“叶状结构”所形成的。实际上看它内部的钢架结构，里面由两族彼此垂直的曲线结构组成，结构中间存在一个稳定的奇异点。

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罗氏几何

罗巴切夫斯基几何，也称双曲几何。与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理（过直线之外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”被代替为“双曲平行公理”即“过直线之外的一点至少有两条直线和已知直线平行”）。

双曲抛物面是罗氏几何的一个重要模型。每个面上都有两条抛物线，形成的结构既能抗压也能抗拉。又因形状酷似马鞍，也被称作“马鞍面”。它的重要特征——直纹曲面，即它可看成由两族直线构成。这个特点为后期施工带来极大的便利性。（我们常吃的某些薯片就是马鞍面哦）

在建筑上，将马鞍面运用到极致的是菲利克斯·坎德拉。同时，他也是混凝土薄壳大师。由“马鞍面”所形成的飘逸的屋面，在他的建筑作品中成为了典型标签。从1个、3个到多个都建了一遍。

1个马鞍面——帕尔米拉教堂

3个马鞍面——圣维特生·得·保罗教堂

三块马鞍面壳靠在一起，中间通过钢桁架相连，形成透明光带，像森林里的一顶白帽子。

4个马鞍面——霍奇米洛克餐厅

多个马鞍面——Bacardí 瓶装厂

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分形几何

分形几何主要研究无限复杂具备自相似结构的不规则几何形态，被认为是连接人造物与大自然的重要几何学。被广泛地应用在设计领域中。分形是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，即具有自相似性。（分形一词是由芒德勃罗（B.B.Mandelbrot），与1973年在法兰西学院讲课时首次提出。）在数学的角度，分形理论将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分形几何在建筑设计中主要体现在两方面：一方面，注重建筑自身局部与整体，建筑与环境之间的关系；另一方面，分形几何的自相似性也是复杂非线性的空间的重要表达方式。

于成庆美术馆

于成庆美术馆是分形几何与建筑设计结合的典型案例。泥塑大师结合“捏泥巴”进行设计构思，以此展开设计。以“龟裂纹”形式表达建筑的局部与整体之间的关系，在无序的形式中包含着简单的分形规律。表皮纹理与表皮之间、表皮与不规则体块之间，不规则体块与大自然之间，逐级形成一种自相似性，实现建筑与环境之间的良好融合。

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拓扑几何

拓扑几何的发现为研究地形地貌、生成自由的建筑空间与形式拓展了新的维度。拓扑几何主要研究它的的不变性，也就是“拓扑等价”。比如，圆、方形和三角形在拓扑变换的条件下，它们都是等价图形。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。

从建筑设计的角度来看，拓扑几何的运用，使得围合空间的界面可以在拓扑等价的条件下随意发生变化，从而创造出自由而灵动的非线性建筑。然而，想要提高拓扑的复杂度，就要在上面“开洞”（专业术语叫“亏格”）。

（亏格为“3”的拓扑建筑）

澳门新濠天地酒店的拓扑解释

在此基础上再做突破，就会涉及到拓扑优化的概念。简单来讲，拓扑优化就是从力学的角度，研究如何在物体上优雅“开洞”。在满足力学性能的前提下，在力学上的无效或低效区域删去材料（开洞），在需要材料的区域增加材料（填洞），最终结构将趋于优化。

矶崎新的团队所设计的卡塔尔国际会议中心和上海喜马拉雅中心的公共空间，将“拓扑优化”做了很好的诠释。不仅满足建筑的功能需求、结构的力学性能，而且结合建筑的审美，形成了极具震撼力的建筑。

卡塔尔国际会议中心

将长达250m的入口支撑结构，运用拓扑优化的逻辑，设计成为类似“树干状”的有机形态。壮观的立面形如两棵相互交缠的大树，树干向上攀升，支撑着建筑的屋顶。

上海喜马拉雅中心

矶崎新于上海喜马拉雅中心的公共空间设计中也运用了拓扑优化技术，形成的结构线巨型的树干，营造出生生不息、自然生长的林木形态空间。仿佛将公共空间置于人工造就的自然之林。

计算机的发展带动了建筑设计的发展，数学中的几何逻辑为建筑师的创作提供了无尽的可能性。通过对建筑设计中几种常用的几何逻辑做简单介绍，希望可以促进大家理解蕴藏在建筑设计背后的数学逻辑。

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