“我们所设计的结构的稳定性及强度来源于它们的形式：正是通过其形式它们才是稳定，而不仅仅是依靠拙劣的材料堆积。”

——埃拉迪欧•迪斯特 

优秀的建筑往往是形与力的完美统一，其建筑形态与技术间往往存在着某种不可分割的重要关系。通过建筑形态与结构的统一，可以实现力学逻辑清晰的建筑形式，同时高效合理的结构也能兼具对于建设成本的平衡。在历史上也有许多设计实践都将建筑形态与结构并重最终创造出成功的建筑作品。

从安东尼奥·高迪的圣家堂大教堂到皮埃尔的罗马小体育宫；从坎德拉的奥赛阿诺餐厅到弗雷·奥托的慕尼黑奥林匹克体育场；从卡拉特拉瓦的纽约世贸中心交通枢纽站到伊东丰雄的仙台媒体中心。在这些成功的建筑案例中，建筑形态与结构都呈现了完美的统一性，产生了非常别致的效果。

图1 建筑形态与结构的统一

丹下健三与井坪善胜合作的代代木国立综合体育馆也是一个很好的例子。日本著名建筑及结构工程师斋藤公男曾说道：“当健三先生与坪井善胜先生一起讨论方案时，很难分清他们谁是结构师谁是建筑师”。丹下健三所提出的新结构的理念与井坪善胜的结构构思发生了灵感碰撞，并不断完善创作方案，最终确定了该建筑的悬索结构形态。在此过程中，建筑形态与结构形式协同变化，互相影响，在不断的更新迭代之后形成最终的方案，这便是以上二者协同发展的最好诠释。

图2 代代木体育馆

  一、逆吊实验法     

人们在早期的生产实践中，创造了众多合理的结构形式，如帐篷、木塔、拱桥以及悬索等结构，可以看出都是形与力的结合，这些结构形式仍然在建筑工程领域发挥着不可替代的作用。这一时期数学和力学等基础科学的发展还不够成熟，合理结构形态的确定往往以设计者的经验为前提。

图3 应县木塔-圣家族大教堂-蒙古包-赵州桥

随着科技的发展，尤其是力学学科的进一步完善，为寻找受力合理的结构形式提供了理论基础。但由于计算机技术的发展尚未成熟，不能完成复杂结构形体的设计计算，因此一些学者开始以工程经验或物理实验为主要手段，有意识地确定合理结构形状。 

由于建筑材料、分析、建造等技术的发展相对落后，因此为使较大跨度的建筑得以实现，往往需要充分利用材料。寻找自重作用下的合理结构形状，使结构以受压为主进而充分发挥材料的抗压特性，是此阶段复杂建筑转自：结构小站-公众号的有力手段。其中“逆吊实验法”就是一种最具代表性的合理结构形状创建方法。

逆吊实验法，是利用了柔性结构在特定荷载作用下只受拉力的特点，确定结构形状，再通过对结构模型进行固化翻转，获得在重力荷载作用下的纯压结构。逆吊实验法的本质是实现零弯矩结构。

逆吊实验法的具体操作是对一个松弛的柔性索网或薄膜施加可凝固材料（如石膏等），待材料在自重（或外荷载）作用下凝结成形后，反向旋转曲面即可获得一以受压为主的壳体结构，对模型形状进行等比例放大。

图4 逆吊法试验过程

逆吊实验法的力学平衡体系分为两种，一种是柔性结构在重力或者外荷载下达到的平衡。这种平衡下形成的结构往往是正高斯曲面的纯拉结构，固化反转后即可得到纯压结构，此类结构的分布不均匀。另一种是通过改变几何形状形成自应力平衡结构，在这种平衡方式下形成的结构往往是负高斯曲面的纯拉结构，符合最小曲面原理，结构应力分布均匀，张拉索膜结构的找形就是基于这种平衡方式。

图5 逆吊试验法力学平衡体系

图6 逆吊实验法研究模型

图7 将帆布浸入到石膏溶液中悬挂晾干倒置而成

图8 自应力平衡体系的逆吊实验法模型

20 世纪初，西班牙建筑师 Antoni.Gaudi 利用“逆吊实验法”设计了叹为观止的圣家族大教堂。其中，实验模型与荷载均按照结构的实际情况缩尺得到。

图9 圣家族大教堂逆吊法模型

图10 圣家族大教堂穹顶 

德国建筑师 Frei.Otto 根据自然界中形态生成规律，通过模型试验的方法，进行了一系列的结构找形研究。由于这一过程不受人为干涉，所以又被称为“自主构形”过程。在“自主构形”过程中，Frei.Otto将自己定义为一名协助者而不是设计者。 

1975年，Frei.Otto通过“逆吊索网”的方法确定了德国曼海姆多功能大棚的曲面形态，结构形式为木结构网壳。

图11 曼海姆多功能大棚

在20 世纪 60、70 年代，瑞士工程师 Heinz  Isler 以试验手段确定了大量混凝土薄实壳结构的合理曲面形状。主要是采用“充气薄膜法“和“逆吊实验法”来创建合理的薄壳。充气薄膜在内压作用下，仅受拉力的作用，以该形状作为混凝土薄壳的初始形状，则在反向荷载作用下，结构仅受压应力的作用。 

图12 采用”逆吊膜法“找形的Deitingen 加油站

图13 充气结构研究模型

 F.Otto 等以模拟蜘蛛网、肥皂膜等若干自然界中常见的几何形态为出发点，提出了利用极小曲面理论对索膜结构进行初始形态分析的方法，在此基础上以实验手段生成了若干复杂的几何形体。

在皂膜模型试验中， Frei.Otto 将围合的框架浸入到肥皂泡液体中，取出后在框内形成的薄膜表面积是最小的，表面压力也完全相同，在所有方向受力均等，此时得出的弯曲形体称为“最小曲面”(Minimal Surface)。“最小曲面”提供了一种确定帐篷结构形式的工具，它遵从自然的规律，形式和结构互为一体。利用“最小曲面”的理论，如果要获得结构允许的最大强度并且抵抗风力作用，则膜材必须剪裁成在拉力下曲率相反的形状，当初始预应力和曲率在两个方向是相等的时候，此时便是最小表面积的屋顶。

图14  皂膜模型试验

在慕尼黑奥林匹克体育馆的设计正是应用的皂膜转自：结构小站-公众号法。该体育场的顶棚材质为PVC，每一单元格最大尺寸为2.9m x 2.9m，厚度为4mm，最小尺寸为75cm x 75cm。整体跨膜结构通过65m至200m高度的钢柱支撑，使其表面能够呈现大规模曲面起伏。

图15  慕尼黑奥运会主体育场及皂膜试验

  二、力密度法     

力密度法最早由Linkwitz和Schek于20世纪70年代提出。所谓的力密度，是指单元内力与单元长度的比值。力密度法的思想是通过计算一个节点连接的多个杆件，对每根杆件赋予相同的力密度，力密度乘以杆件的长度即为杆件的内力，假定所有杆件内力均为拉力，则可解得该点的不平衡力。最终可以得到一个较为均匀的网格。力密度法适用于索网结构的找形分析。

图16  力密度法示意

图17  马鞍面的找形

图18 不同力密度下的形状

图19 不同外荷载下的形状

我们可以看到，力密度的大小、外荷载的大小以及边界约束条件都会对最终的形状产生影响。

三、图解静力法   

自 1864 年德国人卡尔·库曼发表著作《图解静力学》详细阐述了图解力学理论体系并确立了其学科的独立性以来，图解静力学理论便开始逐步兴起并发展起来。瑞士学者威廉姆·里特尔于 1872 年出版《图解静力学应用》，进一步完善了图解静力学理论，使其应用更为广泛。它的核心原理之一是“力的平行四边形定则”，即力的分解与合并。

图20  力的分解与合并

下面以一个求解纯受压拱的形态的例子来说明图解静力法的方法。

如下所示是一跨度固定，两端为固定铰支座，以水平横线作为其初始结构，受五个平行集中荷载作用，荷载大小一致，试求纯受压拱的形态。

首先并将外力等比例绘制，首尾相接形成外力线。然后确定极点 o,  依次连接 oa，ob…形成一系列的三角形，绘制完成的图形就是力图解。矢量 oa 的长度就代表了对应结构单元的内力大小及方向，分别将 oa，ob…作平行线对应到图形解中。由此便可以绘制出荷载作用下结构的纯压拱形态。

图21  力的分解与合并

图22 力图解与形图解的对应关系

图23 极点对建筑形态的影响

此外，可以看到更改极点的位置会影响力多边形的形状和大小。若将极点放置得更远离外力线，则会增加构件中的内力，从而导致得到更平缓的拱形和更低的净空高度。类似地，将极坐标放置得更靠近力线会使得构件中的内力减小，并导致更陡的拱形。这也反映了图解静力学的多解性。

案例应用

图24 上弦杆内力相同桁架

通过在力图解中构造上弦杆对应各水平段长度相等，可使上弦杆各杆内力相等。从形图解中可以看到桁架内斜腹杆（图中黑线表示）内力均为零，在理想状态下甚至可以去除斜腹杆。位于日本静冈市的泗赛桥于1995 年建成，总长 264 米，桥宽 3 米。是一座四跨的预应力钢筋混凝土桥，主要功能为供自行车及行人使用，其独特之处在于桥侧面呈一倒扇形。结构主要由预制的轻质混凝土制成，可以看到其形式和上弦杆内力相同的桁架形式相近（从轴力图中可以看出上弦杆轴力相同），由于上弦杆内力相等且受压，这对于桥面混凝土耐久性有利，而下弦杆受拉，且桥面只通行行人及自行车所以活荷载并不大，因此可以采用预应力混凝土作为下弦杆材料，采取上述桁架形式可以保证结构强度的前提下减轻结构自重使得结构更轻盈，同时营造出别样的效果。

图25 日本泗赛桥

图26 泗赛桥竖向荷载下轴力图

在爱尔兰的利默里克大学人行桥是一座六跨桁架组合桥，建成于 2007 年，总长 350m，由 WilkinsonEyre 建筑事务所设计。单元桥段不断重复形成轻快的韵律感。通过力图解中，可以看到每跨形式的下弦杆内力基本相同，由于下弦杆内力相等即所用材料强度可以充分利用，从结构经济性角度来说是非常合理的。对于下弦杆仅受拉力，故采用抗拉性能更强的预应力钢缆代替普通的钢结构杆件，形成了类似张弦结构的悬挂式悬链线，增加了桥梁的平滑弯曲轮廓，同时可以减轻小结构构建尺寸，获得更轻盈灵动的形态，与独特的自然环境形成了有机对话。

 

图27 下弦杆内力相同桁架

图28 利默里克大学人行桥

罗伯特·马亚尔于 1923 年在瑞士设计的季亚索仓库，从力图解中可以看出，其上弦杆线段等长使得该人字形桁架的上弦各杆件内力相同，且下弦各杆内力差异不大，故材料可以充分利用且结构效率较高。

图29 季亚索仓库

图30 季亚索仓库在竖向荷载下轴力图

由建筑师马里奥·博塔设计的丁格利博物馆，建筑外部的雨棚采用了月牙形桁架设计。从力图解中可以看出，每一节间内的上弦杆和下弦杆所受内力大小均相同而方向相反，体现出了结构的对称美，使得材料可以充分得到利用。

图31 丁格利博物馆

SOM 和 UIUC合作的论文《Structural optimization using graphic statics》 中的案例某大跨会议中心的屋顶概念设计，采用了图解静力学求解内力作力图解相似的过程。屋顶桁架总长 162 米，由 18 个模块组成，每个模块 9 米。建筑左侧屋顶悬挑达 45 米，右侧悬挑 27 米，中间跨度为 90 米且中间桁架底为适应功能要求需保持为水平状态。

图32 会议中心剖面及屋顶

通过静力图解法可以快速得到不同设计形态的力图解，通过观察力图解可以直观的看到方案a采用常规的桁架设计方式得到的杆件内力非常大，其原因是因为悬挑距离大导致左侧支座正弯矩较大，故杆件轴力也非常的大，使得材料强度以及重量也会相应提高。方案b则保持因功能要求跨中下弦部分不变，通过不断调整其余部分的形态，来使得结构效率提高。然而方案 b 形式不规则不是特别美观，故进一步对图形解进行优化，可以看到在上弦部分平滑处理之后并没有使得内力变化太多。于是尝试进一步将楔形形态变薄处理，得出余下两种方案进行比较。最终在保证形态美观的同时使得所用结构材料最少，自重最轻，达到了降低造价的目的。

图33 屋顶优化及对应材料使用关系

利用图解静力学进行桁架设计，主要在于明确设计意图及目的后，构建对应的形式，确定选择上弦杆或是下弦杆受力恒定，进而可以对所用材料进行选择，如对于下弦杆件部分，选择索揽等轴向受力的线性材料，可以使得整体形体更加轻盈漂浮；而选用预应力混凝土等材料则可以营造出区别于常规受力形态新颖的效果。并且在大致形态确定后，结合材料与整体设计理念的整合营造，也能根据内力情况对形态进行进一步优化，进而完成设计的表达。

四、有限元模拟法    

1993 年，Y. M. Xie 和 G. P. Steven 首次提出了 渐进结构优化法 (ESO)，其核心思想是将结构中抵抗荷载效率低的材料逐步消除，从而使最终结构具有较高的抵抗荷载效率值。

喜马拉雅中心与卡塔尔国际中心的有机造型运用了ESO法设计得到的。从结构传力效率来看，所有结构构件中只有轴力，没有弯矩时，其传力效率最高。喜马拉雅的有机造型便是根据所给力学条件及设计条件自动形成的造型，并在进行某种程度的调整后所得到的形态。

图34  上海喜马拉雅中心

图35  上海喜马拉雅中心形态生成

图36  卡塔尔国家会议中心

在深圳中信金融中心项目中，SOM对外骨骼桁架几何潜力进行了研究，进而大幅提高了材料效率。每个框架的斜撑几何造型由下而上逐渐变形，使得整个建筑形成角度偏差，由此响应高层建筑不同的结构载荷——顶部的强风与底部的压力。该一体化设计解决方案可确保最大限度地提高整体结构刚度，同时将整个结构使用的材料减至最少。

图37  中信金融中心

图38 通过受力优化生成的one million tower museum 

五、数值模拟方法    

针对对上述中几种找形方法，我们均可采用已有的参数化软件进行数值模拟。

Kangaroo

经典物理”逆吊法试验“的力学本质是实现零弯矩的纯受压结构。我们可以利用Grasshopper平台中的kangaroo插件进行参数逆吊法模拟。kangaroo是Grasshopper 平台上的一个物理力学模拟插件，是模拟物体的交互仿真、结构优化及找形的物理引擎。Kangaroo 的核心是模拟粒子系统（Partical System），粒子具有质量、位置及速度，能够对各种力做出反应。通过对粒子加载不同方向的荷载、设置点与点之间的引力或斥力、设定固定点等方式，模拟真实世界中的材料及物体的力学表现。

 图39  Rhino+Grasshopper+kangaroo

我们知道三角拱在下图中竖向荷载作用下的合理拱轴线是一条二次抛物线，我们可以将kangaroo模拟得到的拱轴线与二次抛物线公式计算得到曲线进行对比，可以看到两条曲线基本重合。kangaroo模拟得到的拱轴线在竖向荷载下的弯矩基本上为零，与我们预期相符。

 图40  合理拱轴线的理论计算公式

 图41  合理拱轴线的对比(粉红色为kangaroo模拟)

 

图42  kangaroo模拟的拱轴线的弯矩图

图43  运用kangaroo对“逆吊膜法”的模拟

图44  运用kangaroo对张拉结构的模拟

RhinoVault

 

布洛克教授团队与2008年将图解静力学拓展到三维空间，提出了推力网格法分析法，简称 TNA，与图解静力学类似，该方法是基于两个交互的图示：图形解是薄壳结构在水平面上垂直投影形成的网格，力图解是结构内力水平分量的矢量平衡关系。首先通过图形解和力图解的对应关系，获得薄壳结构在二维空间的合理形态，然后利用线性优化算法结合外荷载数值对可行解优化，最终求得结构三维空间结构。其后基于推力网格分析法开发出了犀牛插件 RhinoVAULT，用以拱的形力交互性设计。

图45 基于 TNA 建造的一个自由形式自承重拱

六、结语    

优秀的建筑往往是形与力的完美统一，建筑形态不仅仅是建筑单专业的范畴。通过建筑形态与结构的统一，可以实现力学逻辑清晰的建筑形式，同时高效合理的结构也能节省材料的用量。

如果结构能在建筑形态方案阶段就能够参与进来，在确定建筑方案时，统筹考虑建筑形态和结构力学逻辑，不仅能够最大程度的发挥材料的效率，降低建筑造价，也会使得建筑更加轻盈、合理，呈现出合理的建筑美学。

参考资料：     

[1]曾浩杰. 图解静力学在建筑形态创作中的应用研究[D].西南交通大学,2019.

[2]孙明宇. 大跨建筑非线性结构形态生成研究[D].哈尔滨工业大学,2017.

[3]郭立君. 大跨空间结构优化设计应用研究[D].湖南大学,2016.

[4]孟宪川. 图解静力学的塑形法初探[D].南京大学,2014.

[5]李清朋. 逆吊实验法的数值模拟及应用[D].哈尔滨工业大学,2013.

[6]沈周娅. 图解静力学结合参数化在自由形式设计中的应用[D].南京大学,2013.

[7]谢方洁. 基于图解静力学的各建筑结构类型图析建立尝试[D].南京大学,2012.

[8]李欣. 自由曲面结构的形态学研究[D].哈尔滨工业大学,2011.

[9]Shell Structures for Architecture – Formfinding and Optimization.

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