【编程】分段解析法及多软件反应谱求解结果对比探究 [开源]

“本开源项目反应谱求解结果与商用软件相符”

在推送【编程】Python效率测试与调用.Net的基本方法及【广东省性能设计规程】与国家高规对比浅谈反应谱的修正与完善开源了基于Newmark的反应谱求解项目，近期由于选波工具的需要，在项目中补充了杜哈梅积分、分段解析法、人工波生成、有效持时及有效峰值加速度（EPA）求解等功能。

今天与大家分享基于线性插值的分段解析法（Linear Interpolation-based Piecewise Exact Method），并将本开源项目的反应谱求解结果与商用软件SeismoSignal及YJK进行对比探究。点击“阅读原文“可查看开源项目及分段解析法的相关文献资料。

Piecewise Exact Method

在结构动力学中通常通过离散值给出外部激励函数p(t)。假定离散点间呈线性关系，可列出如式（1）所示运动方程，其方程的特解、通解及全解分别如式（2）至式（4）所示。

图1 假定离散点间呈线性关系

将式（5）边界条件（初值）带入式（4）可求解未知量A与B，整理可得位移响应及速度响应解析式如式（6）及式（7）所示。为方便表达，可将式（6）及式（7）整理为式（8）及式（9），式中参数A至参数D‘的计算公式如图2所示。

图2 解析式中参数A至参数D’的计算公式

当结构为线性时，通过公式（8）及公式（9）求出的响应为精确解。当积分步长为定值时，参数A至参数D’在时程中恒为定值，因此具有较高的计算效率。为获得结构的最大响应，积分步长至少应小于0.1倍周期，防止错过峰值。

分段解析法（Piecewise Exact Method）已加入在本推送的开源项目中，点击”阅读原文“可查看开源项目及分段解析法的相关文献资料。在项目的反应谱求解中，不管是Newmark还是分段解析法，当积分步长小于0.1倍周期时，均会根据根据结构周期合理调整积分步长。

多软件反应谱求解结果对比探究

将本开源项目的反应谱求解结果与商用软件SeismoSignal及YJK进行对比。采用上期推送【YJK】弹性时程分析如何考虑周期折减系数中的地震动记录进行频谱分析，本项目分别采用分段解析法及NewMark法，SeismoSignal为NewMark法，YJK为杜哈梅法。反应谱曲线如图3所示。

图3 反应谱曲线对比

由于谱值误差较小，难以通过反应谱曲线来反应相对误差。以国际商用软件SeismoSignal为基准，计算各反应谱值的相对误差，如图4所示。

图4 反应谱相对误差曲线

由图4可知：

本项目的分段解析法及NewMark法与SeismoSignal相比，在短周期内（1s内）相对误差控制在2%内，其他频段内相对误差极小；
YJK在短周期内（1s内）的谱值偏小，与其他软件间存在较大的误差（局部超过10%）。这是由于YJK采用恒定的积分步长，在短周期内积分步长与周期相近，易错过峰值而无法获取最大响应。
除短周期外，YJK与其他软件相对误差稳定在2%左右。YJK重力加速度为10m/s^2，而其他软件采用9.8m/s^2，因而造成2%的误差。