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来源：公众号“胡正宇结构视点” 作者：胡正宇
编者按：在文章《结构工程师的专业素养 – “A Culture of Discipline”》中，谈了Gustave Eiffel 和他设计建造的Eiffel Tower, 很多朋友留言对此表达了浓厚的兴趣，希望我对Eiffel Tower作一个详细介绍。本周我就先简单聊一聊埃菲尔铁塔的结构设计中的精妙之处，关于其施工建造方面以后有机会再作介绍。需要特别说明的是：以下文中所涉及的所有项目相关资料及图片均收集整理自互联网，且本文并非学术性论文，仅为供各位读者茶余饭后阅读消遣的一般介绍性科普文章，所以尽管作者已对相关资料作了仔细检查及推敲验证，但仍不免会存在错漏之处，敬请各位见谅。
埃菲尔铁塔是法国桥梁工程师和金属结构专家古斯塔夫·埃菲尔（Gustave Eiffel）为纪念1889年法国大革命100周年而设计建造的。这是一座在近代结构工程史上由一个理解并欣赏裸露的结构之美并将其作为建筑的一种表达形式的天才结构工程师所设计创造并施工完成的一个真正的时代杰作和工程奇迹。它的设计和建造施工在当时展示了许多超越其所属时代的精妙的创新和技巧，埃菲尔铁塔的设计建造震惊了世界。铁塔是一座300m高的人造塔，它从1889年开始，雄踞当时世界最高建筑榜首40年，直至1930年才被后续建成的纽约克莱斯勒大厦（the Chrysler Building in New York）所超越。
▼ 埃菲尔铁塔 (图片来自网络，版权归原作者所有)
在设计铁塔的结构体系时，埃菲尔借鉴了其桥梁工程设计的经验，创造性地采用了复合拱和空间桁架结构体系作为铁塔的主要结构体系，来抵抗竖向力（重力）和侧向力荷载（包括风力）的作用。这一体系代表了当时的建筑结构工程领域最为先进高效的结构体系。他的设计研究结果引发了土木工程和建筑设计的一场革命。今天我们就先从结构设计的角度来推敲一下埃菲尔铁塔的结构设计中的精妙之处。
铁塔结构的几何体形与材料(GEOMETRY AND MATERIALS)
埃菲尔铁塔完全由锻铁【编者注：锻铁不同于铸铁，锻铁的含碳量比铸铁低很多，具有比铸铁更高的强度和韧性】制成，尽管钢材在当时已经被发明，但埃菲尔之所以仍然选择锻铁作为建造铁塔的主要材料，一方面是因为钢材在当时还是一项新的技术，产量较小质量也较不稳定，而且钢材在当时价格非常昂贵，难以满足项目的建造经费预算要求；另一方面也是因为埃菲尔他本人对锻铁设计经验丰富且充满信心。因此，埃菲尔铁塔项目所采用的超过7,000吨的锻铁是埃菲尔在当时的冶金工业技术水平条件下所采用的既能够提供铁塔所需的材料强度，又兼顾可模制性及材料的耐久性，并为当时的经济预算所负担得起的唯一可行的建造铁塔结构的材料。
按经典高塔结构设计理念来讲，高塔的结构设计可以大致按两种不同的类型进行设计：第一种是将结构设计为主要抵抗重力荷载的“重力柱”的概念去设计；而另一种是将结构设计为主要抵抗侧向风荷载的“悬臂柱”的概念去设计。这两种设计概念可以简单地通过以下原则进行区分。
而由竖向重力载荷在主受力构件中产生的轴力和由风载荷在主受力构件中产生的轴力的比率，则是用于确定结构设计对风载荷的考虑程度的一项重要指标。一般来说，在进行详细分析设计之前的概念设计阶段，主体结构在满足重力荷载的前提下，可以承受因侧向风荷载而导致的33％的超载应力比DCR（也就是所谓的4/3系数法则）。也就是说，判断是按“重力柱”还是按“悬臂柱”的概念去设计的一个重要条件就是看由风荷载在主受力构件中产生的轴向力（或应力）是否达到由重力荷载在主受力构件中的产生的轴向力（或应力）的三分之一。如果满足此要求，则可以将结构简单地按“重力柱”的概念去设计，因为由侧向风荷载产生的超载效应（overstress）将被材料的抗力安全系数所“吸收”。此即为经典的允许应力设计思路。
通过对埃菲尔铁塔的结构进行分析后发现：由重力荷载和风荷载共同作用下在主受力构件中产生的轴向力与由风荷载在主受力构件中的产生的轴向力的比值为1.34，仅比4/3高0.01。这个比率完美地证明了埃菲尔铁塔抵抗风荷载的效率。但是，在判断铁塔是按“重力柱”还是按“悬臂柱”的概念去设计时，也会产生一些误导。如果将铁塔的底部收窄，则以上比率将会明显提高，因为铁塔支腿的侧向抗风力矩减小，支腿中由侧向风载作用产生地轴向压力会大大增加。（例如，将其宽度改为现有宽度的一半的话，由风荷载在主受力构件中产生的轴向力与由重力荷载在主受力构件中的产生的轴向力的比值将增加一倍，由重力荷载和风荷载共同作用下在主受力构件中产生的轴向力与由风荷载在主受力构件中的产生的轴向力的比率将达到1.7，远大于4/3。也就是说如果铁塔的基座宽度减小一半的话，要么铁塔需要大幅度地增加上部结构的整体的重量去降低这个比率，要么需要为设计出更大更强壮的支腿去抵抗侧向风力的作用，这两种方法中的任何一种都是低效和不经济的。）可见，埃菲尔铁塔的结构几何造型，尤其其底部支座的支腿的倾斜角度和间距，是经过精心计算设计比选后所达到的经济性最优，结构效率最高的造型。
▼ 埃菲尔铁塔的支座 (图片来自网络，版权归原作者所有)
作为视觉比较，你可能会想到华盛顿纪念碑（Washington Monument），它的高度是艾菲尔铁塔的一半（H =〜500ft），但重量却是艾菲尔铁塔的四倍！对于华盛顿纪念碑，上述比率为1.08 （即华盛顿纪念碑通过大幅度地提高结构的自重以满足按“重力柱“概念设计的条件，结构效率非常低），远小于4/3。因此从结构几何形态对抗风效率的角度来看，华盛顿纪念碑远没有艾菲尔铁塔来的高效。
▼ 华盛顿纪念碑 (图片来自网络，版权归原作者所有)
尽管如此，当人们介绍艾菲尔铁塔的结构形式时，还是经常将其作为一种典型的悬臂结构形式来进行介绍。这是因为铁塔的几何造型（尤其是在其底部支座处，四个巨型斜向支腿向外展开的造型）向人们展示了一个完美的最为高效的竖向悬臂结构形式。尽管华盛顿纪念碑的底部也是比顶部宽，但其形状不如埃菲尔铁塔的形状理想。人们应该意识到，两座塔的总体结构特征是相似的，但是由于载荷和结构形态的差异，纪念碑更好地说明了“重力柱“的结构形式，而塔则更好地展现了悬臂的结构形态，尽管他们都是按照“重力柱”的概念去设计的。
在结构构造细节方面，埃菲尔铁塔是一个相当复杂的结构，具有多种多样的精心设计的结构构造细节，尤其是在其几何形状方面，但其主要传力路径（Load Path）则是非常清晰直接。因此，要想通过简单的分析去解密其结构设计的特点，必须要对其几何形状和载荷进行一些合理的简化。以探讨及计算其主要受力构所承受的力，其构件内力和应力。然后进行分析评估其设计的安全性和效率。以下分析及介绍总结主要根据约翰.霍普金斯大学工程学院的研究成功进行整理。因为本文是科普性质的文章，故作者在此尽量采用了文字和配图的方式对分析结果进行整理介绍，而尽量避免枯燥乏味的数学公式。有兴趣的朋友可以登录约翰.霍普金斯大学工程学院相关网址进行相关深入阅读。
埃菲尔铁塔的设计高度为300米，即984英尺（约90层）。它的底部是328英尺宽。该尺寸迅速缩小， 如下图表所示，铁塔有四个观景台。为了便于简化分析，该塔将分为低区，中区和高区三个部分。对应于这三个区域的塔的宽度，是根据抛物线方程计算得出的，这是在计算中对铁塔的形状的理想简化，其实铁塔的实际竖向体形形状的上升段的形态比抛物线更为陡直。
铁塔的主要结构体系是在铁塔的四个角的每个角各自由一个巨大的缀条格构柱组成，这四个格构柱之间及柱肢之间通过锻铁构件两两相连，从而进一步从整体上形成一个坚固且轻巧的复合格构柱。从上图可以看到这些两两相连的复合格构柱的典型截面。这些复合格构柱单元需要进行详细的分析计算，但对整体简化分析来说，这些复合格构柱单元可简化为单个截面面积为800平方英寸的实心截面柱进行简化分析，如下图所示：
并且假定这四个简化的实心截面柱沿着铁塔的实际格构柱竖向曲线上升并在顶部附近相遇。如下所示：
但是，这种理想化仍然是三维的，为了进一步简单分析，这里通过将两个前柱和两个后柱组合成两个两倍厚度的实腹截面柱对其进一步简化为二维进行分析。因此简化为平面后的每个柱截面即为1600平方英寸，其形态任然沿着铁塔的实际格构柱竖向曲线上升并在顶部附近相遇。
注意：在这种简化中，柱沿竖向上升的曲线被改变了。在三维结构中，曲线朝向结构正方形底座的几何中心方向上升，但是在二维简化中，曲线是向着两柱底部平面连线的中点的方向上升，因此在平面模型中柱的上升曲率有所减小。
不过，鉴于铁塔形态的理想化，上述差异对主体结构分析结果的影响不会很大。分析将假定弯曲元素遵循抛物线，但铁塔角柱实际弯曲程度要比简化模型曲线更陡峭，如下图所示。之所以选择这种更弯曲的形状，是因为它在抵抗风载荷方面最有效（但按照目前的假定来说并不是很均匀）。另外，简化后的平面模型的整体结构在两柱之间有一条对称轴，同时每个柱各自的中线也相应地被理想化为抛物线。
通过上述简化后，通过以塔架轴线为中心的分析可以找到整体内力。作用在柱轴线上的内力则可从整体内力中得出。两柱之间的连接将被理想化为连续的。它们实际上是在第二个平台上方连续的，但是在此点之下，它们仅在下部平台和地面之间形成连结。
荷载（LOADS）
荷载方面，主要有结构自重，在平台上实时承受人员和机器的重量以及风荷载三种类型的载荷作用在埃菲尔铁塔上。
从很多文献资料中可知，埃菲尔铁塔的总重量为18,800kip。该重量沿塔的高度分布不均匀；底部的材料多于顶部的材料。详细的分析会应将将重量根据铁塔地实际形态分配给塔的不同部分，但这里出于我们整体近似简化分析考虑，荷载将分配给先前定义的三个部分。这些权重的估计值如下所示：
活荷载包括在最重要的两个较低平台上的活载。总计约为3480kip.则活荷载与结构自重D+L共计约为22280kip，假定作用于铁塔结构位于地面257英尺上方的质心位置。塔的顶部附近的风压强于底部附近的风压，但由于塔是锥形的，故风力相当均匀。
假定为风是沿塔架竖向均匀作用的载荷，保守地采用较大的风力p = 2.6 kip / ft。更加精细的分析应考虑风沿高度及塔架面积沿高度方向减小的变化。尽管这些假设可能会得到不是很精确的结果（但从整体上来看，应该仍然是很不错的估计），因此从上述风载中可得到沿着984英尺的高度，总得风荷载为约2560kip. 假定风荷载作用在塔架沿高度的中部，如下图所示：
基底反力（REACTIONS）
根据上述风荷载和重力荷载（静载和活载），塔底的整体支座反力可轻松得到，如下图所示。
进而可以很容易求得各个柱低的支座反力和柱中的内力。
柱内力（INTERNAL FORCES）
根据上述简图可使用反作用力，载荷和平衡原理求出柱中的内力。最简单的内力是轴向力，它是由垂直载荷和反作用力引起的。它们在塔的底部达到最大。
竖向荷载作用下的柱轴力
相应地，在重力荷载作用下，两根柱子在其底部产生反力如下图所示：同时，在底部支座处，基础将抵抗3700kip的反向水平力。
随着垂直载荷和倾斜角度的减小，轴向力将随着高度而减小。因此到第二平台处，整个顶部和中间部分都在该点之上，因此，垂直载荷为3300kip：
由第二个平台高度处柱地斜率为116度可得：在竖向力的作用下两根柱子中的轴力相同，分别为1685kip。与基底处柱轴力相比，柱中轴力仅为基底处柱中轴力的约1/7！（由于较小的轴力会产生较小的压应力，因此很自然的，柱截面可在此位置作一定程度的减小，而埃菲尔实际上也是确实是这么做的。）另外，由柱的倾斜角产生的轴力的水平分量被该处结构平台完美承担。
水平荷载作用下的柱轴力
接下来研究由风载作用下结构整体弯矩产生的内力。来自水平风荷载的总弯矩将在一个柱中产生拉力（T），在另一柱中产生压力（C）。如下图所示（有点夸张）：
由基本力学分析可知，沿塔架高度方向，由风载产生的弯矩图大致如下所示：
而有趣的是，埃菲尔铁塔的立面形状曲线与以上弯矩图非常相似，简化分析模型相当精确地揭示了这一重要力学特征，只是实际的塔架曲率如前文所述沿高度方向上升得更加陡直。另外，沿塔架高度的任何一点，柱中的压力和压应力可由在此高度处结构总弯矩M和结构宽度d来确定。
在塔的底部，力矩为M = 1,260,000 ft-k（反作用力），宽度d为328英尺。因此，两柱柱中轴力分别为+/-4050kip（一拉一压）
按同样的思路可得第二平台上的风荷载产生的轴向力。
由上图可知，侧向风载作用下在此位置柱中的轴向力和其垂直分量几乎相等。这说明如果仅做粗略计算的话，在柱与竖向垂线轴小于15度的角度下，可以近似地认为柱中轴向力和垂直支座反力相等。
另一个有趣地发现是在这个高度上的垂直力拉压反力和其在底部基座处的垂直拉压反力基本相同，他们都是大约4,000kip。这表明，如果结构的竖向分布形态模仿其在侧向力作用下的弯矩图的形状，则弯矩在柱中所产生的竖向力分量将在整个高度上保持恒定！
竖向和水平荷载下的柱总轴向力
将以上分析所得的由竖向重力荷载和水平方向风载荷产生的轴向力相加即可得出柱中的总轴向力。压力为负，张力为正。如下图所示。
需要说明的是在第二个平台处，迎风柱承受的是拉力，而不是向底部基座处的柱总是承受压应力。但这不会造成结构问题，因为锻铁既抗拉又抗压。接下来，使用总轴向力求内应力。由于塔架竖向构件沿高度分布的几何形态几乎同侧向风载产生的弯矩图一致，并且由侧向风载作用产生的柱的竖向轴力分量在塔架的整个高度范围内是基本恒定的，因此理论上，水平风荷载不会在柱中产生剪力 。
该结果验证了以下概念：即从抵抗风荷载的角度来说，铁塔沿着竖向抛物线的形态将仅会在柱中产生均匀分布的轴向力和其竖向分量。
柱截面应力（INTERNAL STRESSES）
相应地，根据上述所求得的柱中内力（即塔架立柱底部的压力在迎风侧为N = -7,630 kips，在被风侧为N = -15,780 kips），以及两根简化柱的面积均为1600平方英寸，求得两柱中截面压应力分别为4.8ksi 和9.9ksi。由于风可能从任何方向作用在塔上，因此每个支架的设计都必须承受-9.9 ksi的最大压应力。这也是对实际塔的四根柱子的最大应力的粗略估计，因为简化模型已将三维的四根柱子组合成两倍截面大小的二维平面模型中的两根柱子。
铁塔的安全度和结构效率（SAFETY AND EFFICIENCY）
埃菲尔铁塔的安全系数是极限应力与实际应力之比。锻铁的极限应力约为45 ksi。这是它在失效或断裂之前可以承受的最大拉力或压力。与砖石结构不同，在不同的应力水平下会发生压缩和拉伸破坏，而对于两种力，铁破坏都在相同的应力下发生。安全系数公式中的实际应力值为-9.9 ksi，极限应力为45 ksi：因此，铁塔结构抗力安全系数约为4.5。
也就是说，埃菲尔铁塔可承受的极限载荷是其通常承受的载荷的四倍半而不会倒陷。似乎埃菲尔铁塔的设计太保守了，因为它永远不会承受如此大的荷载。其实不然，因为按照容许应力的思路进行结构设计时，结构材料极限强度通常要除以一个至少为2.0的材料强度安全系数（即材料强度至少折减一半，仅使用材料最大强度的一半）作为设计容许应力的标准。这是考虑到材料强度试验的不确定性，材料本身的不确定性，材料在失效前的变形对材料强度的影响以及其实际尺寸及形状同设计之间的差异。这些尺寸的差异及变形虽然不是非常致命的危险缺陷，但是它们并不美观，并且可能导致节点连接问题和局部残余应力。因此，在结构设计中，人们不仅希望结构坚固（确保足够的强度），而且要确保足够的刚度，以避免这些对结构不利的变形。
以上的这些考虑是通过给材料设定一个允许应力的方法在结构设计中考虑的。允许应力值是给极限承载力设定一个具体的百分比，并以此作为结构设计的应力标准。即理想情况下，完美的结构设计应是使结构构件的应力比接近但不超过允许应力限制。较高的构件应力可能很危险，并且会导致过大的变形，而较低的应力则无法充分利用材料的强度。在允许应力的情况下进行设计本质上是在结构设计中构建安全系数。如果结构受力达到允许极限，则表明结构的实际安全系数等于材料的允许应力安全系数。
极限应力是材料的特性，但是容许应力是基于变形计算的设定标准，即为材料选择避免有害变形发生的最小安全系数，因此允许应力也可由材料的极限应力除以材料抗力安全系数求得。
而埃菲尔在设计他的铁塔时，当时的锻铁的安全系数约为3，即锻铁材料的允许应力为15ksi。此值是埃菲尔在设计铁塔时当时的建筑规范中使用的标准。因此衡量设计效率的方法是用结构主要构件中的设计应力（即实际应力）除以材料的允许应力，所得的值即为实际使用的允许应力的百分比。当然理想结构使用效率为1.0或100％（实际应力等于允许值）。埃菲尔铁塔的最大应力为9.9 ksi，材料允许应力为15ksi,因此使用效率为66%。这意味着埃菲尔铁塔设计中利用了锻铁的66％的允许应力。因此埃菲尔铁塔是一种中等效率的设计，具有一定的安全余量。但考虑到当时在结构稳定设计和结构及构件的二阶效应方面的理论和设计技术方面的不足，以及在风载估计方面的不确定性，上述安全余量恰恰能够较为合理地cover了这些在当时是未知的影响因素并确保结构安全建成并屹立至今。因此总体来看，埃菲尔铁塔的结构设计是相当合理且高效的。
本文所作的分析，解释和估算都是采用经典的近似并以手算所得，因此结论是有效且准确的。但既然结果是基于简化近似的模型所得，则必须将本文所作的分析视为对实际情况的简化而不是精确的与实际完全一致的分析计算。通过简单的回顾本文分析中使用的近似假定你就会对分析的简化性有一个更加明确的理解：因为在分析中，铁塔的实际几何形状已经通过使用实心截面柱的二维模型进行了理想化，并且简化了静载荷和风载荷等。尽管计算表明，结构利用效率和安全系数对于这种结构是合理的，但这些仅是估计值，不能视为精确的度量和设计分析评估的依据。但至少从以上的分析探讨中我们可以管窥埃菲尔铁塔精妙的结构设计一斑。
最后，用一组埃菲尔铁塔当时的施工进度照片结束本文，谢谢阅读。
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