前期推送【OpenSEES】浅析Newton迭代（一）：减少刚度重构工作量与减少迭代次数谁更有意义？是迭代三部曲的第一篇，与大家分享了几类基础的牛顿迭代算法。本次推送将和大家分享带线搜索的牛顿迭代法（Newton-Raphson with Line-Search）的原理及其相应的实例。点击“阅读原文”可下载本推送的算例模型、相应工具源码及参考资料。
线搜索基本原理
牛顿法为求解函数f(x)=0的解，而带线搜索的牛顿迭代法则是求解f(x)的极小值min(f(x))。线搜索迭代式中，λ为搜索步长系数，pk为搜索方向。其中，搜索方向一般可由牛顿法直接确定；搜索步长系数λ的求解则分为两步：先确定搜索范围，再通过二分法等方法确定满足线搜索容差的值。
数学上常用 Wolfe条件来确定步长系数λ的搜索范围（点击“阅读原文”可下载参考资料），而OpenSEES则进行了简化，直接通过常量λmin（默认0.1）及λmax（默认10）确定搜索范围。
在搜索范围内，OpenSEES提供了Bisection，InitialInterpolated（默认），RegulaFalsi，Secant四种搜索方法。每次搜索均计算一次不平衡力，直至不平衡力满足线搜索容差或超过最大搜索次数方退出搜索，进而确定下一步迭代的初始位移。
综上所述：带线搜索的牛顿迭代法先通过牛顿法确定搜索方向，再通过线搜索确定最优的搜索步长系数，进而确定最优的迭代步长，因此可一定程度降低迭代次数。由于线搜索仅涉及不平衡力计算，因此不会明显增加迭代耗时。
模型与实例
采用与推送【OpenSEES】浅析Newton迭代（一）：减少刚度重构工作量与减少迭代次数谁更有意义？相同的测试模型。为让每个迭代算法均各尽其能，简单补充了个小算法：当分析不收敛时自动缩短积分补步长并增加最大迭代次数（点击“阅读原文”可下载，包含于“1_Function.tcl”）。
迭代方法分别采用搜索容差0.1的线搜索牛顿法（NRLS）、搜索容差0.8NRLS法及牛顿法（NR），采用人工波进行0.4g、0.6g、0.8g的动力弹塑性时程分析。
在0.8g的地震作用下，结构最大层间位移角已远超过规范的最大弹塑性位移角限值（1/50）。此时仅搜索容差0.1的NRLS法完成此项加载。因此线搜索容差的降低有利于提高迭代的收敛性。
从迭代次数及迭代耗时的角度，带线搜索的牛顿法（NRLS）迭代次数均小于牛顿法（但差别不明显）。由于线搜索过程仅涉及不平衡力计算，因此小搜索容差的NRLS在提升收敛性的同时基本不影响迭代耗时。
线搜索可有效优化牛顿迭代算法。降低搜索容差可提升收敛性且对迭代耗时基本没有影响，因此推荐尝试使用小容差的线搜索来优化迭代算法。
点击“阅读原文”可下载本推送的算例模型、相应工具源码及参考资料。更多信息详看”README.md“。
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