地震波转反应谱附源码

建筑抗震设计规范（GB50011-2010，以下简称抗规）中5.1.2规定，对特别不规则的建筑、甲类建筑和表5.1.2-1所列高度范围内的高层建筑，应采用时程分析法进行多遇地震下的补充计算；

相应的条文说明中指出：正确选择输入的地震加速度时程曲线，要满足地震动三要素的要求，即频谱特性、有效峰值和持续时间均要符合规定。其中频谱特性的要求中，要求时程分析所选的地震波与抗规的反应谱在统计意义上相符，即多组时程波的平均地震响应系数曲线与振型分解反应谱法所用的地震影响系数曲线相比，在对应于结构主要振型的周期点上相差不大于20%。

非解构之前的文章中，已经对地震波的相关概念进行介绍（说说地震波的那些事儿，一文读懂地震波，值得收藏！，Python爬虫实战——从太平洋地震工程研究中心数据库自动下载地震波时程，地震来了到底该跑还是就近躲避？）。那么，要如何生成地震相应系数曲线呢？

1、单条地震波反应谱的生成

反应谱是某个反应量的峰值作为体系的固有振动周期Tn，或者像圆频率ωn（或者循环评率fn）那样的相关参数的函数图形。作为一种实用的工具来描述地面运动及其结构效应。它提供了一种方便的方法来概括所有可能的线性单自由度体系对地面运动的某个特定分量的峰值反应。反应谱是在1932年由M.A.Biot引入的，40年代由Housner应用到抗震中，50年代末刘恢先教授在我国第一部抗震规范编制时引入了反应谱理论，开创了反应谱在我国抗震规范中应用的先河。

下面我们就用一个实际的例子来解释到底什么是反应谱，它是如何生成的。我们用ELCENTRO波作为我们的案例对象，说明ELCENTRO波的反应谱的计算过程。以下是ELCENTRO波的时程曲线（以下求解过程假设阻尼比均为5%）：

回到最基本的求解单自由度体系时程反应的结构动力学方程：

其中m为质量，c为阻尼，u为反应位移，为反应速度，为反应加速度，P（t）为地震波时程。

首先，我们需要求解每条地震波作用在任意单自由度体系时，单自由度体系的反应时程。根基结构动力学的理论，对于任意激励的单自由度体系，其时程反应可以用杜哈梅积分（Duhamel）进行求解：

下图所示为小编利用杜哈梅积分求解将ELCENTRO波作用在不同的单自由度体系上的时程反应：

可以清晰地发现，ELCENTRO波作用在不同周期的单自由度体系时，每条时程的反应的峰值是不同的，其产生峰值的时间点也各不相同。

假设反应谱的周期范围为0-6s。只要我们按照一定的将这个周期范围按一定的时间步长进行划分，分别求解每个周期点对应的单自由度体系在ELCENTRO波作用下的反应。提取每条反应时程的峰值，以周期点为横轴，以每个周期点对应的时程反应峰值为纵轴，形成的曲线，这样形成的曲线就是ELCENTRO的反应谱曲线。如下所示就是ELCENTRO波的位移反应谱曲线。它代表不同周期的单自由度体系在ELCENTRO波作用下的位移峰值。

2、位移谱，伪速度谱，伪加速度谱

当看到以上的反应谱时，可能会产生这样的疑惑：反应谱长这样吗?超限报告做的那么多，反应谱的峰值好像都是在短周期的部分，为啥这个反应谱长得这么奇怪？

这就牵涉到了位移谱，伪速度谱和伪加速度谱的概念。在结构动力学的基本方程和杜哈梅积分中，求解的基本问题都是时程反应的位移。而抗规中的地震影响系数曲线，以及超限报告中需要的时程反应谱曲线都是基于加速度谱。那么位移谱和加速度谱又要如何转化呢？来看求解单自由度体系的位移时程表达式：

很容易地根据这个位移表达式求导推导速度和加速度的表达式：

这里的V被成为伪速度，A被称为伪加速度。

根据相应的公式分别得到ELCENTRO波的位移，伪速度和伪加速度反应谱曲线。可以发现伪加速度，伪速度，位移反应谱的峰值处在不同的阶段，在结构周期较短时，反应谱出现加速度反应峰值，结构的加速度较为敏感，这个区域称为加速度敏感区；在结构周期较大时，结构出现位移反应峰值，结构对位移较为敏感，这个区域称为位移敏感区；而介于位移敏感区和加速度敏感区之间，出现速度反应谱的峰值，这个区域称为速度敏感区。加速度敏感区，位移敏感区和速度敏感区的定义，对于判断各种周期状况下的结构响应情况具有重要的意义。

3、求解地震动时程响应的三种方法

根据杜哈梅积分求解单自由度体系下结构的响应时程是计算反应谱的基础。而通过资料的收集，小编总结了三种求解杜哈梅积分方式。

（1）通过卷积求解杜哈梅积分。

在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分的面积。设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

查看杜哈梅积分的形式，正是一个卷积积分的形式，利用python里Numpy自带的卷积积分函数，可以求得相应的反应曲线。源码如下：

（2）通过傅里叶变换时域为频域求解地震波时程

这种方法是最容易被大家误解的求解地震波时程的方法。很多朋友都会误以为地震波求解反应谱就是简单地对地震波进行傅里叶变换得到的傅里叶函数各项频率和幅值的曲线。然而有这种想法的朋友还是too yong too naïve。

对于常参数线性系统，当激励时稳态的简谐输入时，其稳态响应也一定是具有相同频率的简谐输出，但是其幅值和相位有所改变。

将简写函数表示为复指数：

稳态输出可表示为复指数H()域输入

的乘积：

用复数H（）表示输出与输入的振幅比y0/x0和相位。复数H（）描述了线性系统在频域上的动态特性，称为频率响应函数，简称频响函数。它是对单位简谐输入的响应。

以某个受正弦激励的单自由度体系为例：

设：

带入方程：

得到：

实部A（）和虚部B（）称为频响函数的实频特性和虚频特性。

H（）的模和相位分别称为幅频特性和相频特性。

相同的，在脉冲力作用下，系统的脉冲响应函数为：

频率响应函数H（）描述了系统对单位简谐输入的响应；

脉冲响应函数h（t）描述了系统对单位脉冲输入的响应。

假设单位脉冲输入：

假设脉冲响应函数：

分别作傅里叶变换：

对于某一频率范围d内简谐分量输入的时域波形为：

对于某一频率范围d内简谐分量输出的时域波形为：

则：

得到：

可以看出，对于任意非周期输入来说，频率响应函数等于输出的傅里叶变换域输入的傅里叶变换之比。得到频率响应函数是脉冲响应函数的傅里叶变换。

而脉冲响应函数是频率响应函数的傅里叶逆变换：

根据以上推导，编写相应的时程代码：

（3）根据New-Mark法求地震波时程。

New-Mark法是一种时间步进法，它主要基于以下的公式：

它的计算过程如下所示：

以下为New-mark法的代码：

分别根据以上的三种方法，求解ELCENTRO波在相同阻尼下自振周期为1s的单自由度体系的时程反应曲线：

可以发现，采用卷积和傅里叶变换方法得到的时程曲线基本重合，但是new-mark法得到的结果和其余两种方法得到的结果偏差较大。

相同的结果同样反映在利用三种方法生成的反应谱曲线中：

由上图可以发现，三种方法得到的位移谱基本重合，但是new-mark法和其余两种方法得到的速度谱和加速度谱的差距比较明显。这是因为在计算过程中，new-mark法的速度和加速度是在计算过程中直接生成参与迭代的。而在其余两种方法中都是用伪速度和伪加速度的方式根据位移计算得到的。

4、振型分解反应谱法的反应谱

研究发现，地震动特征受较多的因素影响，比如震级，震中距，场地类别，震源特性和传播路径等，其中，震级，震中距和场地类别对反应谱的影响较大。我国建筑抗震设计领域反应谱经过1959年《地震区建筑规范（草案）》，1964年《地震区建筑设计规范（草案）》，1974年《工业域民用建筑抗震设计规范》（TJ11-74），1978年《工业域民用建筑抗震设计规范》（TJ11-78），1989年《建筑抗震设计规范》（GBJ11-89）,2001年《建筑抗震设计规范》（GB5001-2001）和2010年《建筑抗震设计规范》（GB5001-2010）的不断发展，考虑了反应谱的主要影响因素，通对众多的实际反应谱进行统计拟合，规范反应谱的定义不断完善。根据场地类别，烈度等因素确定的反应谱曲线是能够反映建筑设计场地实际发生地震的谱特性的。而要求时程分析时要求时程分析所选的地震波与抗规的反应谱在统计意义上相符，其意义就在于选出的地震波满足实际场地的地震特性，最大程度地在特征上接近实际地震发生时的地震波。

抗规中归档的结构所受水平地震力可按以下公式表示：

其中：

为加速度放大系数谱;k为地震系数。也称为标准化反应谱，是地震动加速度反应谱与地震动加速度峰值am的比值，即，表示的是结构反应对地震动峰值的放大系数，实际上是规则化的反应谱。当地震动PGA不同时，反应谱Sa有加大的差别，没有可比性，放大系数谱却有可比性，因此可以对比和分析各影响因素下的谱形状，从而更方便地统计分析反应谱的特征参数。

参考文献：

1.Anil K. Chopra. 结构动力学：理论及其在地震工程中的应用(2nd).高等教育出版社

2.沈聚敏. 抗震工程学.中国建筑工业出版社

3.赵培培.设计反应谱拟合方法研究及特征参数统计.中国地震局工程力学研究所

4.建筑抗震设计规范（GB50011-2010）

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