如图1a所示, 芯棒长度为L+Δc0, 套管长度为L–Δp0, 其中, L为芯棒原始长度;Δc0为芯棒原始长度与装配完成后长度的差值;Δp0为套管装配完成后的长度与装配前的长度的差值。两者通过施加预应力, 强行装配在一起, 端头将两者刚性地连接在一起, 芯棒与套管之间无间隙或有微小间隙, 界面无摩擦。假设两者均为无限弹性, 该组合压杆的承载力可按式 (1) 、式 (2) 计算。

装配阶段的轴向平衡条件:

式中:T0为装配完成后的芯棒拉力;C0为装配完成后的套管压力。

施加外力阶段的轴向平衡式:

式中:Pc为外力施加后芯棒分摊到的压力;Pp为外力施加后套管分摊到的压力, 外力施加后, 套管的轴力为T0–Pp, 芯棒的轴力C0+Pc=T0+Pc。

图1中, vc0为芯棒装配完成后的初始挠度, 可以单波、多波;vp0为套管挠度装配完成后的初始挠度,可以单波、多波;q0为套管和芯棒之间的相互作用力,可以沿杆长变化;Ac为芯棒面积;Ap为套管面积;Ic为芯棒惯性矩;Ip为套管惯性矩;Ec为芯棒的弹性模量;E为套管的弹性模量;Mc为芯棒截面的弯矩;Mp为套管截面的弯矩;Vc为屈曲变形后芯棒截面上的剪力;Vp为屈曲变形后套管截面上的剪力;vc为荷载作用后芯棒产生的附加挠度;vp为荷载作用以后套管产生的附加挠度;q (z) 为外荷载作用后芯棒-套管的附加作用力。

假设内压外拉预应力压杆装配完成后, 在施加荷载前处在某种状态:可以是理想笔直, 也可以是m个半波, 还可以是不规则的点接触或者线接触。

施加荷载后, 芯棒与套管之间的相互作用力为q (z) , 它可以是一个或多个半波的。

如果芯棒和套管没有间隙, 界面摩擦系数等于0, 则vc0=vp0。如果芯棒与套管有间隙, 则两者关系无法确定。图2为用温度来模拟对芯棒施加预压应力的情况。对芯棒输入一个半波的微小的初始缺陷, 则随着芯棒温度模拟的压力增加, 会出现图2所示的芯棒和套管的相互接触线的逐渐开展。但是这些线接触的状态是否稳定,还需要在分析过程中插入屈曲分析来判定。实际上很可能是不稳定的, 因为会变成多个半波, 同时也存在线接触, 因而简单的单波和多波正弦曲线不能正确描述其形状。

图1 内压外拉预应力压杆隔离体分析

a—内压外拉预应力压杆;b—芯棒微段;c—套管微段

图2 非线性分析获得的芯棒和套管之间的相互作用力

为此, 提出问题如下:装配过程中, 芯棒或者套管可以承受多大的压力而不发生整体屈曲。文献[1]介绍了预应力钢拉杆, 在施加外拉力之前, 事先在拉杆内施加预压应力, 这种预应力钢拉杆也有施加预压应力时的稳定问题。文献[2]研究了细长的混凝土构件 (算例为截面200 mm×250 mm、长度21 m的混凝土构件) 施加预压力过程中的屈曲问题, 并给出了如下结论:如果预拉力索与套管沿长度无间隙, 则预压力施加阶段不存在屈曲问题。这个结论从下面的推导和求解过程也可以得到。如果预拉力索和预压力杆仅在中点接触, 则屈曲荷载为受压杆整杆欧拉荷载的4倍, 即施加预拉力的数值可以达到受压套管的欧拉临界荷载的4倍。对于这个结论, 文献[2]给出了解析解的推导, 文献[1]的第3章也给予了介绍。

施加外力阶段, 芯棒压力继续增加, 如果单独分析芯棒, 它的屈曲波数增加 (不然压力增加不了) 或者套管与芯棒的接触线长度增加或接触点数量增加 (芯棒与套管脱开部分缩短, 压力才有可能上去) ;外套管的拉力则减小, 压杆整体性的挠度增加。这个整体性的挠度, 套管和芯棒是一样的。

对图1b所示的芯棒微段建立其平衡方程。对微段的中点取弯矩的平衡并求导数得到:

由图1b法线方向力的平衡得到:

将式 (3a) 代入式 (3b) , 有:

同理, 对于套管隔离体 (图1c) , 可以得到:

将式 (3c) 、式 (4c) 相加得到:

注意式 (5) 是平衡方程, 它代表一种非线性的平衡状态。该平衡状态是否稳定, 要采用静力法或者能量法来判定。判定方法:给这个平衡状态一个干扰[3], 并假设vc*=vp*=v*。如果该平衡状态是中性的, 则干扰后的如下平衡方程仍然成立:

将式 (6) 减去式 (5) , 得到:

即

因为外荷载N=Pp+Pc, 且根据材料力学公式, 有:

所以式 (7b) 成为:

最后得到:

所以, 由微段的平衡得到四阶微分方程。式 (9) 的推导过程表示:如果式 (5) 代表的平衡状态是中性的 (也就是临界的) , 则式 (9) 必须成立。它与理想弹性压杆屈曲的平衡微分方程形式上完全一样, 其结果可以直接引用, 即两端铰支时, 有:

结果表明:N<Ncr时, 式 (5) 代表的平衡状态是稳定的, N=Ncr时, 式 (5) 代表的平衡状态是中性的。式 (10) 表示, 预拉力未能提高临界荷载。这里包含着重要的物理概念:预应力施加拉力的同时也施加了压力, 拉力是正刚度, 压力是负刚度, 压力等于拉力, 负刚度等于正刚度, 所以刚度没有增加, 临界荷载也就不会增加。

从上述推导过程看出, 施加的预拉力与预压力抵销了, 这个压杆如果不施加外荷载, 是不会失稳的, 也就是文献[2]介绍的预应力杆施加预压力的过程不会失稳。

因为轴向压缩变形产生的竖向位移增量为Δ, 芯棒原始长度与装配完成后长度的差值为Δc0,套管装配完成后的长度与装配前的长度的差值为Δp0,则芯棒总竖向位移为Δc0+Δ (未包含弯曲引起的缩短) , 套管总竖向位移为Δ–Δp0 (未包含弯曲引起的缩短)。施加外荷载N后, 芯棒和套管出现新的挠度, 总挠度分别为vc0+vc, vp+vp0。对拉力、压力的势能进行区分:芯棒压力

芯棒与套管的相互作用力q做功情况:作用在芯棒上的q如果是正功, 则套管上的q是负功, 相加后等于0, 可见q没有功可以对应。

总势能的轴向应变部分 (式 (11) 的前三项) 仅代表轴向平衡, 可以不考虑这些项, 所以有:

施加干扰 (即变分) , 得到新的总势能:

势能增量:

由势能驻值原理 (平衡条件) , δΠ=0, 有:

分部积分:

可以得到与静力法一样的平衡微分方程:

二阶变分才是判定稳定性的工具:从式 (12) ～式 (14) 得到:

因为在装配阶段, 芯棒与套管已经多点多段接触;施加荷载阶段, 芯棒压力从T0增加到T0+Pc, 因为压力增加, 已经发生的点接触和线接触只会接触得更长。这些局部性的变形可以不细究, 仅考虑芯棒和套管共同变形的部分, 即可以假设:

由于能量法是一种上限法 (求得的解是真实解的上限) , 采用上述假定, 推导得到的临界荷载是真实临界荷载的上限。将式 (19) 代入式 (18) , 得到:

2) 从静力法以及能量法的推导中判断稳定性, 不一定需要求出屈曲前的变形。有任意初始弯曲的两端铰支弹性压杆, 由总势能的二阶变分就可以得到EIy″+Py=0, 得到的临界荷载对应欧拉公式的荷载;至于达到欧拉荷载前的状态, 则在计算应力、计算变形及实际应用时需要加以考虑。

图1a内外杆施加不同初始缺陷, 对其在预应力施加完毕后的变形采用ANSYS软件进行了分析。分析中外套管和芯棒的初始缺陷分别为:

式中:i为芯棒和套筒的初始缺陷半波数目。图3中比值为套筒与芯棒的初始缺陷半波数i, 如1∶1+2表示在套管采用一个半波的初始缺陷 (取i=1) , 芯棒采用一个半波+两个半波的叠加波形 (取i=1和i=2) 。各种情况中, 施加的温度荷载均为200℃。从图3可以看出, 套筒和芯棒的变形主要与初始缺陷的形式相关, 当套筒存在反对称波形 (图3b, 图3c和图3e的第2波形) 时, 芯棒的变形存在与第二波形相对应的变形, 同时芯棒也会产生一定的反对称变形。但是, 当套筒和芯棒均为半个正弦波 (一阶波形) 时, 尽管内杆的预压力达到30.5 kN (远大于本身的欧拉荷载1.416 kN) , 但是并没有发生高阶屈曲对应的变形。需要说明的是, 在图3d中也未发现芯棒发生高阶屈曲波形, 尽管叠加了第10阶屈曲对应的初始缺陷, 这可能是由于相对于第1阶屈曲的初始缺陷, 第10阶屈曲的初始缺陷较小的缘故。

图3 预应力施加完毕后的变形

a—1∶1;b—1∶1+2;c—1∶1+2+3;d—1∶1+10;e—1+2∶1+2

接着对预应力杆进行了轴压荷载下的非线性分析, 同样考虑几何非线性。从图4中可以发现, 对于多种初始缺陷组合, 尽管在预应力施加结束后变形存在差异, 但是从第二阶段的竖向荷载作用下的分析来看, 各种情况的荷载-位移曲线较为接近, 初始变形并未影响压杆的屈曲性质。从图5可以看出, 各种情况的最后变形图形式基本一致, 均发生一个半波的失稳。

图4 预应力杆的轴力-跨中位移

图5 5种初始缺陷组合的预应力杆的变形

a—1∶1;b—1∶1+2;c—1∶1+2+3;d—1∶1+10;e—1+2∶1+2

图6对采用1+2∶1+2初始缺陷的压杆的变形发展进行了分析。由图3e可知, 在第一阶段预应力施加完毕后, 杆件存在明显的反对称波形。从图6可知, 由于同时存在一阶波形, 随着荷载的增大, 压杆逐渐按照最不稳定的路径变形, 最终变成以一个半波为主的变形形式, 发生失稳。

图6 预应力压杆的变形发展 (初始缺陷1+2∶1+2)

a—0;b—1.419 kN;c—2.938 kN;d—3.938 kN;e—5.438 kN

同时采用了ABAQUS软件对预应力压杆进行了有限元分析 (图7) , 构件长度3.2 m, 套管壳单元:内径100 mm, 壁厚6 mm, 内杆体单元:直径28 mm, 实心圆钢。将内外构件两端所有自由度组合在一起, 一端约束3个位移自由度, 另一端约束轴向以外的两个位移自由度, 即两端简支, 允许一端沿轴向移动。材料为钢材, 不考虑弹塑性, 弹性模量为206 GPa, 泊松比为0.3, 线膨胀系数为0.000 01。内杆和外管之间采用无摩擦硬接触, 允许接触后分离。

图7 ABAQUS有限元分析

a—初始状态;b—芯棒与套管接触

3种工况及加载情况如下。

1) 工况1:无初应力, 第1步施加侧向压力, 使得构件初弯曲约为2.9 mm;2) 工况2外压内拉, 第1步芯棒降温100℃;施加侧向压力, 使得构件初弯曲约为3.3 mm;3) 工况3外拉内压, 第1步内杆施加温度荷载, 同时给内杆一个侧向力, 保证温度荷载施加后内杆与外管接触, 升温100℃时, 整个构件会出现弯曲, 挠度约为3.9 mm。3种工况的第2步是施加端部位移, 进行位移加载。求得的结果如图8所示。

2019年1月8日, 对欧本钢构金山工厂一号门通廊进行了施加预应力的压杆抵抗外荷载的试验, 试验未采用应变仪、千分表等进行精细测量, 但是承载力的读数已经足以验证上述理论。试件尺寸如图9所示, 共进行5根压杆试验, 试件情况汇总在表1中。

图8 3种工况的压杆分析结果

图9 欧本试验

a—试件尺寸;b—试件制作完成后情况。

表1 试件结果

图1 0 试件端部

第1个试件 (图11) :端头螺栓施加了140 N·m的扭矩, 螺栓对套筒的位移为6 mm。经T=kPd测算, 预压力约为54 kN。第一根被“虐”得有点狠, 大力钳加预应力, 还有扭矩扳手, 预压力施加完成时, 杆身呈现S形, 目测偏离轴心在10 mm左右。再将其放到反力架上施压, 加载到4.6 kN时弯曲严重, 继续加压, 压力下降, 变形增加, 构件呈明显的弓形, 为一个半波失稳 (图12a) 。

第2个试件也是复合杆, 但没有施加预压力, 目的是测量一根自然的复合杆能够承受多大的力。试验得到最大承载力为7.8 kN, 略大于理论计算的6.6 kN。分析可能跟测量的千斤顶精度不高、或者端头的铰接不够理想有关系 (图12b) 。

图1 1 试件1施加预拉力的情况

图1 2 试验装置

a—试件1;b—试件2

第3个试件, 把芯棒去掉, 又把两端的螺栓去掉, 变成一根端头粗大且平整的杆。把这个杆固定在反力架上 (图13) 。试压结果显示, 最大读数为8.4 MPa, 折算压力达到了18 kN。之后, 杆件变弯。试件之所以承压能力大大增强, 其实是因为其端部和反力架的支座平接, 有很强的嵌固作用。

图1 3 试件3的试验情况

第4个试件也是本次试验的主要目的。先对芯棒施加预压力。为了能精准控制, 测量了螺栓和套管的间隙。理论计算显示, 有2 mm的变形就能达到20 kN的预压力。同时, 通过高强螺栓连接副的反算可得, 此时扭矩扳手的扭矩达到52 kN·m。用这两个数据双控进行预应力加载, 同时特意将千斤顶的加载速度控制得比较慢。结果压出来的最大承载力只有6.9 kN。此时, 压杆呈单波弯曲, 继续加载, 荷载读数不增加 (图14) 。

图1 4 试件4的试验情况

a—用扭矩扳手拧紧螺栓;b—加载至最大时变形情况

第5个试件, 与试件3一样, 去掉了芯棒, 但是安装了螺栓和锥头, 加载测量其承载力。结果和试件2很接近, 也加压到了7.8 kN, 然后变弯越来越明显, 呈弓状。试件5中没有芯棒, 但承载力跟有芯棒居然一样。分析其原因, 可能千斤顶精度不高是一个原因, 但也说明芯棒承担的承载力比较少。

由表1可得欧本试验的结论:

1) 施加预应力, 杆件的承载力小于无预应力的杆件。即施加预应力有不利影响;

2) 试件两端平头提供的嵌固作用, 使得临界荷载提高到铰接时的2.3倍以上。

对第2个结论,国外也有相关文献佐征。文献[4]的第107页介绍了加拿大的学者Beaulieu等在1983年发表的工型截面轴心压杆采用平板铰接柱脚的试验报告,试验结果表明, 平板式铰接柱脚中弹性失稳的压杆的承载力是欧拉公式的2.3～2.7倍, 与上述试验结果接近。

本文对预应力压杆的弹性承载力从三个方面进行分析:一是纯理论分析, 包括静力法和能量法的求解;二是非线性弹性有限元分析, 采用了ANSYS和ABAQUS软件;三是试验研究。三个方面的研究结果均表明, 施加预应力不能提高弹性临界荷载。欧本试验和非线性有限元分析的结果还表明, 芯棒施加预压力降低了临界荷载。

[1]陆赐麟, 尹思明, 刘锡良.现代预应力钢结构[M].北京:人民交通出版社, 2003.

[2]GUSTAVE M.Prestressed Concrete:Chapter VII[M].3rd ed.London:Concrete Publications Limited, 1954.

[3]童根树.钢结构的平面内稳定[M].北京:中国建筑工业出版社, 2015.

[4]陈绍蕃.钢结构设计原理[M].3版.北京:科学出版社, 2005:107.