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桁架内力怎么求？几何分析解忧愁！
距离上一次的几何分析法已经过去了接近一个月，相信大家对如何将几何分析法应用到更多的工程实际应用的问题已经摩拳擦掌跃跃欲试。今天，小编就给大家带来如何用几何分析法求解静定桁架内力的具体实例，让我们放下计算器，双手离开键盘，准备好纸笔尺规，Let’s rock！
（小编默默打开了业内某知名CAD软件）
几何分析法解桁架内力有两种方法，一种是通过节点图法，另一种是应力图(Stress Diagram)法。小编先来介绍节点图法，因为它便于理解，与前一节知识也比较连续，在此基础上再来介绍应力图法。
先来个简单的例子：求图示桁架内力
对于任何解桁架内力问题，第一步要做的当然就是求支反力。关于如何求支反力，我们在上一次讲解中已经具体介绍过。忘记了？不慌，下面放一张图来唤醒一下可能还在沉睡的记忆……
另附上传送门链接：——几何分析法（一）——
回到刚刚的问题。在求得支反力之后，我们需要对这个桁架进行标注以方便我们接下来对每个节点和杆件进行说明和追踪。标注的结果如下图所示
图中一共用了4类标注：
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F#、R# 用来标注作用力及支反力
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阿拉伯数字用来标注桁架杆件围成的桁架内部区域（内部区域编号）
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罗马数字用来标注桁架的节点（节点编号）
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小写英文字母用来标注桁架外部被F#、R#分割的区域（外部区域编号）
这样标注之后，桁架的每根杆件就可以用阿拉伯数字与小写英文字母的组合或者阿拉伯数字本身来进行描述。例如，连接节点I和节点II的杆件可以被描述为b-1，因为这根杆分割了区域b和区域1；连接节点V和节点VI的杆件可以被描述为4-5，因为这跟杆分割了区域4和区域5。
那么问题来了——这样标注有什么好处？用节点编号来描述杆件岂不是更简单直接？
答案是因为在下一步介绍的应力图法中，节点编号将不会被标注，而且熟悉了这种以区域来描述杆件的方法之后，这种描述方法甚至可以用来描述力，比如F1其实可以被表示为a-b，R2可以被表示为f-y，等等。
下面就进入内力求解环节。我们先来看节点I。
显然，将节点I独立出来观察，节点I会受到4个作用力：F1、R1、b-1杆内力、1-y杆内力。根据平面上共点力平衡，我们可以画出该点上共点力平衡图（上一节的知识又用到了，传送门点我）。在这里要强调的一点是，b-1杆的内力方向以及1-y杆的内力的作用线我们是已经知道的，所以这个共点力平衡求解问题只存在两个未知数：b-1杆内力的大小和1-y杆内力的大小，是可以通过作图求解的。
这里需要注意，所有的杆件名字应该以顺时针方向来命名，例如1-y杆，取我们分析的I节点，顺时针绕着该节点读区域名字，我们就会发现，1-y杆为顺时针方向读法，y-1杆就是逆时针读法，所以这个杆需要被命名为1-y杆。所有的杆件均要以顺时针方向命名，否则内力方向会求反。
在这个基础上，R1可以被命名为y-a。于是，我们在共点力平衡图中就可以把区域名字作为点的名字标上，例如y-a支反力就可以标识为以y为起点，a为终点的向量，a-b作用力可以标识为以a为起点，b为终点的向量。共点力平衡状态下，力向量必会形成闭环，故b-1、1-y内力方向可以被确定，并且各个点也可以以区域名字标识，最终结果如下图所示
这样，在共点力平衡图里量出b-1和1-y的长度即可知道杆件内力大小，那么如何判断b-1杆和1-y杆到底是压杆还是拉杆呢？
由于我们是以节点I为考察对象，我们将共点力平衡图力的b-1向量直接带入到桁架图力的b-1杆中，得出的结论是b-1杆作用力方向是指向节点I的方向，即b-1杆对节点I施加压力，那么如果以b-1杆本身为考察对象，则根据牛顿第三定律可知，b-1杆会受到一个来自于节点I的指向b-1杆内的压力，b-1杆为压杆。同理，对于节点I来说，1-y杆对节点I施加的是指向节点外方向的拉力，所以，1-y杆会受到一个反作用力，1-y杆为拉杆。
节点I的分析就完成了，我们继续分析节点II。
将节点II独立观察，可知节点II受4个力的作用：F2、1-b杆内力、c-2杆内力以及2-1杆内力。其中F2已知、1-b杆内力在上一步已求得，c-2杆和2-1杆内力作用线已知。求c-2杆和2-1杆的内力大小。
这里要注意，作共点力平衡图时，是以节点II为考察对象，1-b杆为压杆，故其受到来自于节点II的指向与1-b杆内方向的压力，于是1-b杆会给节点II一个指向节点的反作用力，这里的1-b对节点II的作用力方向与节点I的共点力平衡图中1-b杆内力方向是相反的。这点从该杆件的命名方式也可以有一种直观感受，因为在考察节点I和节点II时，该杆件的命名方式截然相反。
同节点I的情况，我们可以在原桁架上带入2-1杆的内力方向，得到2-1杆的内力为指向节点II方向，于是2-1杆为压杆。c-2杆的内力也为指向节点II方向，c-2杆为压杆。
重复该过程，遍历节点III直至节点VII，我们就可以得到所有杆件的内力。下面是各个节点的共点力平衡图。由于从每个节点的共点力平衡图中就可以看出来每个杆件的内力方向（顺着该杆件的名字读一遍就可以知道该内力向量的起点和终点），后面的节点中共点力平衡图中就不以向量形式表示力了，直接使用线段方式。
有了这些节点上的共点力平衡图，我们就可以知道桁架内任意杆件内力大小及拉压杆情况了。例如4-d杆：我们首先在4-d杆的两个端点中任选一个作为研究对象，这里我们选节点IV，对于节点IV来说，4-d杆按顺时针命名法来读应该为d-4杆，找到节点IV的对应共点力平衡图，按d-4杆的读法，d为向量起点，4为向量终点，将此向量代入原桁架，得到节点IV受到来自d-4杆一个指向节点的力，根据牛顿第三定律，d-4杆为压杆。
选取节点VI的情况也类似：此时该杆仍需读作4-d杆，于是找到节点VI的共点力平衡图，按4为起点，d为终点的向量，代入到原桁架里，仍然得到4-d杆给了节点VI一个指向节点VI的作用力，于是4-d杆为压杆。结论相同。
However!!!!!
这种方法太麻烦了！求个内力，不仅所有节点都要过一遍，还要挨个构造共点力平衡图，稍微复杂点的桁架，那岂不是头发都得掉光……
此时，就要用到应力图法了。
当我们把刚刚的7个节点的共点力平衡图都拼起来之后：
这样所形成的图就是应力图。
我们先不说如何直接从桁架来构造这个图，我们先来说说如何用这个应力图来求得桁架内任意一个杆件的内力。
比如我们想知道4-5杆的内力：
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任取一个4-5杆的一个端节点，比如说节点VI；
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顺时针命名法读这根杆，读作5-4；
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在应力图中沿5 – 4 方向构造该内力向量；
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5 – 4 向量作用指向该节点VI，故5-4杆为压杆；
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5-4杆内力大小可由应力图直接量出。
所以，如果我们能不通过共点力平衡图来直接构造这个应力图，那岂不美哉？
事实上，这是可以做到的！步骤如下
先任取一个桁架外的区域，比如y，我们可以作y-a线段长度为R1，方向与R1方向相同，如下图，注意方向，每个力的命名法需要根据该力作用点按顺时针反向命名，起点与终点不能弄反。
然后，按桁架外区域顺时针方向，构造a-b，注意a-b向量方向为朝下，故b点作为向量终点应在a点下方，如图所示
按照这个方法，沿桁架外区域顺时针方向，依次构造b-c、c-d、…、f-y，我们可以得到应力图中的A、B、C、…、Y点的位置以及外力的大小和方向。
下面重头戏来了，由于桁架内区域1毗邻桁架外区域b和区域y，1-b杆和1-y杆的方向也可以由桁架确定，我们可以过目前应力图里的B点做B-1平行于桁架中1-b杆，过Y点做Y-1平行于桁架中的1-y杆，B-1和Y-1相交于1点，如图所示
然后，由于我们有了1点，桁架内区域2毗邻1-2杆和2-c杆，不用说，过1做1-2平行桁架内1-2杆，过C做C-2平行于桁架内c-2杆，这两条直线相交于2点。
然后，桁架内区域3毗邻2-3杆和3-y杆，可以通过这两个杆构造3点。
桁架内区域4毗邻3-4杆和4-d杆，构造4点
桁架内区域5毗邻4-5杆和5-y杆，构造5点，我们会发现1点和5点重合，这也与我们最开始从节点的共点力平衡图中构造应力图相同
还有一根5-e杆我们没有用到，可以直接通过连接5-E两个点得到5-e杆的内力和方向。
这样，我们就直接构造了应力图，是不是十分简单和方便呢？分分钟手算桁架内力！如何用应力图来求桁架内力我们前面已经介绍过了，下面我们来挑战一个更复杂的桁架吧！
如下面的图，求桁架内力。
第一步，求出支反力并编号：
由于a-h杆的力大小与支座反力大小一样，其实本质上来说a-h就可以当作是一个支座来对待，故在此就直接拿掉a-h杆，做a-h支座反力来分析，当作支座在力a-b的作用点处。
我们将所有桁架外被外作用力和支反力分隔的区域先都用应力图画出，注意顺时针命名法：
第二步，依次将桁架内区域画到应力图中，两根杆件可以确定一个区域点。先从1-c、1-d确定1点，再用1-2、2-e确定2点，再用2-3、3-b确定3点
再用4-h、3-4确定4点，用4-5、5-f确定5点，用5-6、6-g确定6点。然后连接剩余未使用的杆件6-h，这样我们就完成了应力图。
第三步就是应用这个热乎的应力图来求桁架内任意杆件的内力情况了。
如果我们想知道3-4杆的内力，任选该杆的一个端点，这里我们选该杆的上端的节点，以顺时针命名法，应读作4-3杆，将应力图的4-3方向带入到原桁架图中，发现是一个指向我们选择的端点的一个力，故3-4杆为压杆，内力大小可由应力图中3-4线段长度量出。
如果我们想知道5-f杆，选右边端点，顺时针命名法仍读作5-f杆，应力图中按5-f方向形成向量，代入原桁架图中，发现为远离端点方向，故5-f为拉杆，内力大小由应力图中5-f线段长度量出。
至此，我们已经学会使用几何分析法解静定桁架内力了，有关于几何分析法的其他知识，敬请期待！ hia hia hia hia hia hia ~
（小编手中抓住的Graphic Analysis书仿佛又颤抖了一下）
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