静力学的几何分析法学习手记（一）

几何分析法

Graphical Analysis

TL, DR: 几何法相较于我们传统结构力学中所使用的解析法来说，完全不需要用到任何计算知识，只需要一把尺子、一个圆规和一支笔就可以解决结构力学中的各类问题。

—— 下面是正文 ——

— 的一段引子 —

几何分析法，与传统的我们在结构力学解题中经常用到的解析法相比而言，其目的都是相同的：在给定的结构形式、约束条件以及外部作用力的条件下，求得该系统中的其他未知量。与解析法不同的是，几何法主要运用的是结构形式的几何特征来进行分析，其方法中大量运用了几何相似性。

在此，我们先回想一下我们在高中时候让人提神醒脑的立体几何。概括的来说，高中时我们解决立体几何相关考题有两种思路，一种是空间几何解法，一种是解析几何解法：

如果我们用空间几何法来解决该题，那解题思路就是：

如果我们用解析几何法来解决，那解题思路就是：

可以看出，在空间几何法里，平行、垂直、相交、相似这些概念的运用十分多，而这些几何特征也是结构（特别是桁架结构）中可以广泛应用的。所以，如果将空间几何的思路运用到结构力学当中来，那我们就可以省掉所有的计算，所有的结果都靠一把尺子来量！

— 正文 —

—- 目录 —-

力的作用线
力的合成与分解
共点力
非共点力的合力
索多边形（Funicular Polygon）
非共点力的合力是一对力偶的情况
多个平行共面力
简支梁在多个竖向力情况下的支座反力
平面桁架在多个竖向力情况下的支座反力
平面桁架在有非竖向力情况下的支座反力

1. 力的作用线

力的三要素：

大小 magnitude
方向 sense
作用点 point of application

大小是向量的长度（直接用尺子就可以丈量出来），方向是向量与某参考线的夹角角度（可以用量角器测量），作用点是向量的起点。

在几何分析法里还多了一条：作用线 action line。

力的作用线（action line）在几何法里是十分重要的概念。力的作用线就是该向量所在的空间直线（向量两端无线延伸所成）。它的意义可以类比在平面/立体几何里我们常用的解题手段之一 —— 辅助线。力的作用线就是几何分析法中解题的辅助线。

2. 力的合成与分解

最常用的力的合成/分解是三角合成/分解。分解之后的两个力不一定成直角，但直角分解是最常用的。（左图：非直角分解；右图：直角分解）

3. 共点力的平衡状态

在几何分析里，一个作用点同时受到若干个力的作用时，是否处于平衡状态（equilibrium）的判断十分简单：若所有力的向量首尾相接形成了一个闭合的环，第一个向量的起点与最后一个向量的结束点是同一个点，那么这若干个力处在平衡状态。这种状态下的力向量构造出来的多边形也称之为力多边形（Force Polygon）

一个处在平衡状态下的平面系统最多可以解的未知量个数是两个。可解答的未知量可以是力的大小，或者力的方向。也就是说，在其他都给定的情况下，可以解出：

两个未知的力的大小（已知他们的方向）；
两个未知的力的方向（已知他们的大小）；
一个未知的力的大小和一个未知的力的方向（可以是一个力既不知道大小又不知道方向，或者是两个力，其中一个不知道大小，另一个不知道方向）。

另外，在利用几何法解题时，作图必须严格按照比例来进行，即：画在同一个图里的各个图形要素必须统一比例，否则它们之间的几何关系会出现混乱。

下面是一个例题：（求图中共点力在平衡状态下时，力F3和F4大小）

解：

先作出4000单位长度F1向量，再作图6000单位长度的F2向量，其起点在F1向量的结束点。

由于这四个力处在平衡状态，所以根据这两个力的方向来判断，F3向量的起点与F2的结束点相同（在C点），F4向量的结束点与F1向量的起点相同（在A点）。由于我们知道F3、F4的方向，可以在C点、A点分别做与F3、F4平行的直线，这两条直线相交于D点。

于是，F3的大小是CD的长度，F4的大小是DA的长度，这样，F1~F4可以形成一个向量闭环。

4. 非共点力的合力

如果一个系统里的若干个力是非共点的，那么我们就不能直接知道合力的作用线在哪里。比如说下图中，我们并不能直接知道F1、F2、F3的合力的作用线的位置。

但是我们可以通过两两合成的方式，来最终确定合力的作用线。先用之前学到的方法（力的三角合成）来合成F1和F2：

这样我们可以判断出来合力R的大小和方向。由于合力必然会经过F1和F2的作用线，那么合力R必然会经过F1和F2作用线的交点。这样，我们可以在原图上通过F1和F2的作用线将合力R的作用线作出来（下图紫色线条所示）：

再将R与F3用相同模式进行组合就可以得到F1、F2、F3的合力FR的作用线和大小（下图中蓝色线条所示）：

这种方法在力的个数较多的时候会变得很复杂，下面介绍另一种解这类问题的方法。

5. 索多边形 (Funicular Polygon)

索多边型是一种很实用的解平面内非共点力问题的方法。下面通过例题来说明什么是索多边形。如下图所示，现在有F1、F2、F3、F4四个同一平面内的非共点力，求其合力的大小及作用线。

首先，通过将F1~F4首尾相接，很容易得到F1~F4的合力R向量的大小和方向如下图所示：

但是如何求得合力R的作用线呢？下面我们就来介绍索多边形。在上图中由F1234和R构成的多边形图中任取一点p，然后连接p与各个向量的结点。为了方便描述，给各个向量结点编号A~E。

在原图中的F1作用线上任取一点1，F1的可以看做是向量Ap和向量pB的合力，过1点作平行于Ap的直线（红），再过1点作平行于pB的直线（橙），该直线交F2作用线于2点。

F2可以看做是向量Bp和向量pC的合力，由于过2点平行于Bp的直线在图上已有（橙线，与上一步中，过1点平行于pB的直线相同），故在此我们略过该步骤。接下来过2点作平行于pC的直线（绿），该直线交F3的作用线于3点。

F3可以看做是Cp和pD的合力，同样，过3点作平行于pD的直线（蓝），该直线交F4的作用线于4点。

F4可以看做是Dp和pE的合力，同样，过4点作平行于pE的直线（紫）。

由于R可以看做是Ap和pE的合力，那么这个合力必然会经过过1点平行于Ap的直线（红）和过4点平行于pE的直线（紫）。红色直线与紫色直线相交点命名为5点。那么过5点，方向与合力R（在力多边形中）相同的直线即是所求合力的作用线，如下图所示（青色点划线）。

由1点~5点构成的多边形就称为索多边形（Funicular Polygon）。

索多边形的构造方式并不会影响求解结果，与F1、F2、F3、F4的排列顺序也没有关系，但必须注意在求解过程中的平行线与索多边形内边的对应必须保持一致。下面是相同的问题，用F1-F3-F2-F4的顺序来构造索多边形：

可以看出，其解答结果是一样的，R向量的长度以及R向量所在的作用线并没有改变。

6. 当平面内非共点力的合力是一对力偶的情况

这种情况下，我们会发现最开始构造的直线与最后构造的直线会出现平行的状况，如下例所示：

作出这些平面力的索多边形：

我们会发现过1点的红线与过5点的青线相互平行。

这就表明平面中F1~F5的力大小可以互相抵消，但其存在力偶，力臂长度即是红线与青线之间的间距，构成力偶的一对力的大小即等于Ap向量的长度。

由解题过程可以知道，当F5向左移动的时候，F5与紫色线条的交点（5点）也会相应的左移，这样青色直线与红色直线之间的距离会缩短，该平面内F1~F5的合力力偶的力臂就会减小，而Ap向量的长度并不由F5的位置决定，故该力偶的会减小，于是由几何分析法可以很快得出结论：

当F5向左移动时，该平面力群组合成的力偶大小会减少。

当F5继续向左移动直到构造的青色直线与红色直线重合的时候，此时力偶的力臂大小为0，即不存在力偶，此时就是一个平衡状态，如下图所示：

此时F1、F2、F3、F4、F5在该平面上是平衡状态。

7. 多个平行共面力

运用索多边形，平面内多个相互平行的力的合力及其作用线可以很方便的求出，如下例所示：

其索多边形和对应的平行力的合力R（青色）：

多个竖直共面力是我们在结构分析中经常碰到的情况，比如结构自重等。这种情况下的索多边形十分有特点，在后面的介绍中也会多次出现。

8. 简支梁在多个竖向力情况下的支座反力

因为仅有竖向力作用，故此时简支梁结构的支座反力没有水平向分量：

作出这五个力的索多边形。简支梁处于平衡状态，故索多边形应该首尾闭合。但由于R1和R2的大小未知，只知道方向，我们在作索多边形时先作R1和R2合力R。

由竖向平衡可知：R = R1 + R2 = F1 + F2 + F3

在F1作用线上任选一点作为1点，作1-2平行于pB，交F2作用线于2点；在2点作2-3平行于pC，交F3作用线于3点；在3点作3-4平行于pD，交R2作用线于4点；在1点作1-5平行于pA，交R1于5点。

由于该体系处在平衡状态，故索多边形必处于闭合状态，此时我们连接4-5。

于是，已知R1和R2的合力为向量DA，且R1和R2均为竖向，故一定存在点X在向量DA或其所在的直线上，使得DX为R2，XA为R1。只有这样才能满足平衡状态下力向量形成闭合环这个条件。于是，在p点作p-X交AD（或其所在直线）于X点，DX即为R2，XA即为R1。按比例测量DX、XA的长度即可求得R1、R2的大小。

关于DX、XA与R1、R2的对应：

由于在构造4点时是以3点（F3力向量的结束点）为起点作平行于pD的直线相交R2作用线于4点，故4点对应的是R2的起点。

构造5点时是以1点（F1力向量的起始点）为起点，作平行于pA的直线相交R1作用线于5点，故5点对应的是R1的起点。

9. 平面桁架在多个竖向力情况下的支座反力

解法与简支梁情况下的前例题无异：

11. 平面桁架在有非竖向力情况下的支座反力

这种情况在设计中是十分常见的场景，例如竖向荷载叠加风荷载等。见下例：

作出索多边形：

此时我们发现，与之前的桁架只受竖向力的情况不同，我们在力多边形里我们能确定R1和R2的合力R的大小及方向，但并不能分别确定R1和R2分量。在构造索多边形的过程中，我们也可以发现，当我们试图过7点作7-8交R2作用线于8点时，由于R2支座反力的作用线未知，无法确定8点的位置。故因此我们在这里需要做假设才能继续。

从解析角度上来说，由于该桁架的支座均为铰接支座，每个铰接处可以提供两个方向（水平和竖直）的支反力，整个体系属于超静定结构，无法通过仅有的给定条件解答。此时需要移除支座处的约束，假定某一端的支座仅能提供单方向（水平或竖直）的支反力。

a. 假设桁架右端支座结点设计时作仅能承受竖向荷载的支座：

此时R2分量为竖直方向，我们可以在桁架图中将R2分量的作用线作出，并确定8点位置：

至此，由于我们不知道R2的大小，并且也不知道R1的大小和方向，在索多边形中无法继续分辨R1和R2，在桁架图中我们也无法继续，似乎这个问题就在这里卡住了。

但是该问题中还存在一个已知量没有被利用起来——力R1的作用点。

由于R1一定是作用在桁架的左边支点，故R1的作用线必通过支点，于是，我们以这点为起点0，做0-1平行于红色直线（平行于“索多边形中p点至F1向量起点”的向量），在桁架中就可以确定最后连接R1和R2向量的方向了。如下图（从红色框0点处开始作图）

于是，作p-X直线平行于0-8直线，与过F7向量结束点垂直的直线相交于X点。（图中省略了F1~F7的标注）

这样，量出R1、R2长度以及它们与竖直方向的夹角即可确定R1和R2支座反力向量，如下图所示

在索多边形中：

b. 假设桁架左端支座结点设计仅能承受竖向荷载：

与第一种情况类似，我们在桁架图中先从R2支座处开始构造索多边形，最后连接8点和0点：

过p点作p-X直线平行于8-0直线，与过F1向量起始点垂直的直线相交于X点。此时，R1和R2的大小可按索多边形绘图比例量出。如下图所示：

将R1和R2置于原桁架图中，得到该情况下的原题的解：

c. 假设桁架左右支座反力互相平行

在这种假设下，支反力合力R的方向就是R1和R2的方向，我们可以直接作出R1和R2的作用线构造索多边形：

过p点作p-X平行于8-0，交R向量于X点：

于是可以得到R1和R2。

d. 该平面桁架支座反力的可能分布

将这三种情况的力多边形放在一起我们会发现，三个X点（分割R1和R2的点）在一条直线上，且这条直线平行于连接桁架两个支点的直线（水平线）。如下图

其实这条水平线就是“该系统下，支座反力的合力R能够被分解成两个支座的反力R1和R2的所有可能的分解点的集合”。对于任何一个桁架，两个支座处的支座反力所有可能的分解点的集合直线都与连接原桁架的两个支座点的直线平行。该条结论对于两个支座不落在一个水平面上（两个支座高度不等）时也成立。证明过程就不在此处详细列出了。

至此，我们已经成功应用几何分析法来求平面结构里的支座反力了，至于桁架内部的杆件力怎么用几何分析法方便的量出来，敬请期待下一期。

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