关于地基极限承载力的问题，最早由普朗德尔于1920年根据塑性平衡的观点，研究了坚硬物体压入较软的，均匀的、各向同性材料的过程，得到了如上图所示的滑移面的方程，人们将它应用于地基极限承载力的求解。上图中CD、CE为对数螺线。至今我们所使用的计算地基极限承载力的公式仍是由普朗德尔的公式演变而来。

大家有没有想过地基失稳的滑裂面为什么是对数螺线？对数螺线又是什么？土体失稳时为什么非得沿着一个这样的面滑动？土体失稳时将要滑动的状态为什么被称为极限平衡状态，而不是直接称之为平衡状态？这里的极限的含义是什么？

对数螺线又称等角螺线或生长螺线，是自然界中常见的螺线，其特点是任意经过原点的直线与等角螺线的的夹角始终相等。

为了更直观地理解对数螺线，以飞蛾扑火为例。

夜晚活动的飞蛾都是靠月光或者日光导航，我们知道由于距离很远，这些光照射到地球时均为平行光，因此，飞蛾只要与光线呈一定的夹角就能飞成直线。

但是自从人类学会了使用火，这些人造光距离很近，是放射型光源，单纯的飞蛾仍以为按照与光线的固定夹角飞行就是直线，结果飞成了等角螺线，最后飞进了火里，所以当我们在用飞蛾扑火这个成语形容别人自取灭亡的时候，飞蛾是很郁闷的。

等角螺线在自然界中是一个普遍存在的现象，比如鹦鹉螺的贝壳像等角螺线：

鹰追击猎物的轨迹为等角螺线：

旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。

银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。

低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像等角螺线：

通过简单的数学推导就可以知道，在极坐标中等角螺线的表达式可写为：

可以发现对数螺线的表达式是以自然常数e为底的指数函数。为什么等角螺线的表达式可以用e来表示？自然常数e又是什么？这个在人类实践的很多领域内经常用到而且很好用的数，要问它是什么，一时竟答不出来。

自然常数e和圆周率π一样，都是自然界中存在的数，是一个无限不循环小数，约等于2.718281828，是在我们熟悉的高数课本上的两个重要极限之一。

简单来说e就是增长的极限。

为了直观地理解自然常数e，我们以细胞分裂为例：

某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式：

其中 x表示天数。

这个式子可以改写成如下的样子：

其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内（24小时）的增长率。

根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。

因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%：

即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至为：

即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢？答案是：

当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此我们称这个常数为自然常数，以e为底的对数，就叫做自然对数。

同样的，我们也可以一个经济学名称“复利”为例，本文就不展开了。

那么普朗德尔得到的地基失稳的滑移面为什么会是等角螺线型的呢？

我们知道土为摩擦材料，是由很多微小颗粒组成。

为了能够直观地理解土体的摩擦特性，我们引入下面这个简单的小模型：

假设法向力Pn不变，水平推力Pt逐渐增大，直至产生滑动。在滑动的瞬时，Pt除了要克服土体的粘聚力c，还要克服两种摩擦力：第一种为土体颗粒与颗粒接触面之间的摩擦力，另一种为土体颗粒之间阻止其改动相对位置的咬合摩擦力。正是由于这个咬合摩擦力，当土体滑动的时候，除了水平位移，必然还有竖直向上的位移，此时土体的位移将和水平方向呈一个角度θ。

这个角度θ值就是我们熟悉的岩土体参数c，φ值中的φ。土体这一特性也叫做剪胀。

当作用在地基之上的荷载Q持续增加，直至地基失稳，原本静止的平衡状态被破坏，失稳土体颗粒获得一个相对于未失稳的地基土的初速度V0，并出现相应的滑裂面。我们先假装不知道这个滑裂面是什么形状，如下图，将滑动土体以等角Δθ分为n个三角形刚体：

根据前述的土体材料的摩擦特性，三角形刚体的位移有两个分量，一个是沿着滑裂面的，另一个垂直于滑裂面，此时三角形刚体的位移方向则与滑裂面呈一个固定的角度φ。如果等分角Δθ足够小，我们可以得到：

在任意的角度θ处的第n个三角形刚体OEF的速度则为：

而

因此有：

可以看出来，第n个三角形刚体的速度Vn相对于第一个三角形刚体的初始速度V0的增长同前面所举的细胞分裂的例子类似，很显然，当三角形刚体的数量趋于无限增加时，即当n趋于无穷大时就有：

因此，失稳土体内质点相对于稳定地基土的速度，从初始速度V0开始，大小和方向均呈对数螺线型增长，随之形成的滑裂面也必然为对数螺线型。

（完）

等一下，完得好像有点突然。培根老师说知是一种快乐，好奇心是知识的萌芽，我们先冷静一下，毕竟标题还有能量守恒与地基极限承载力那么长。

说到能量，我们结构的小伙伴肯定最先想到的是虚功原理。

虚功原理是1764年由拉格朗日提出的，拉格朗日的原话为：一个原为静止的质点系，如果约束是理想双面定常约束，则系统继续保持静止的条件是所有作用于该系统的主动力对作用点的虚位移所作的功的和为零。

这个一本正经非常拗口的表述，仔细想想好像是句废话啊，静止的质点系必然处于平衡状态，平衡状态下合力必然为零，那随便给质点系一个什么样的假设的位移，只要不改变原本力的属性，这个为零的合力所做的功必然为零啦，而且一个原本好好呆着不动的物体，没谁去推它一下，它自然不会动。

那么假如质点系原本不处于静止状态会是怎么样？我们知道，除去其他形式的能量转化，合外力对质点系所做的功就等于质点系动能的增量，这就是著名的质点系的动能定理大概的意思，质点系动能定理是能量守恒和转换定律的一个形式，虚功原理实际上是质点系动能定理的动能增量趋于零时的极限结果，运动中的质点系，动能增量趋于零时，就无限趋近于平衡状态，也就是说，当质点系处于平衡状态时，排除其它能量转换形式，质点系能量守恒。

我们接触到的虚功原理被分成了刚体和变形体的虚功原理，刚体可以看成是一个质点，而变形体则可以看成由很多个微观质点单元组成，因此对于变形体，内力可以看作作用在微观质点单元上的外力，因此变形体的虚功原理可以表述为，当变形体处于平衡状态时，在任何可能的位移或者变形下，外力做功和内力消耗的能量相等。

虚功原理在解决结构问题中的应用已经很成熟，那么我们怎么将它应用到地基的极限承载力问题当中去呢？

对于地基失稳问题，我们将组成失稳土体的质点系作为研究对象，外荷载逐渐增加，土体从静止的平衡状态到运动中的失稳状态之间存在着一个临界的平衡状态，如果我们使土体失稳时的动能增量趋向于零，土体就无限倒回并接近那个静止的临界的平衡状态，也就是说这个临界状态，可以理解为失稳后运动中的质点系动能增量取极限为零的结果。也因此我们称这个平衡状态为极限平衡状态。

如果要从能量的角度求解地基极限承载力，只要找到失稳土体消耗的能量就可以，然后通过外荷载做功和失稳土体消耗的能量相等，就可以很容易地得到我们想要知道的导致土体失稳的极限外荷载大小。过程很简单，本文不再展开。

传统的我们目前广泛使用的，也即由普朗德尔公式发展而来的各种求解地极限承载力公式，都是基于静止的平衡状态下的静力平衡条件得到的结果，也就是土体失稳正向发展的临界状态的左边的状态，通常一般的我们都假定土体的失稳模式为固定的几个模式，但是不同于钢筋混凝土等材料，岩土体的特性各异，失稳模式也永远是未知的，如果我们从这个未知或者说虚设的运动中的土体失稳状态去寻求答案，会不会得到意想不到结果呢？

（完）

参考文献：

[1]郑大同，地基极限承载力的计算；

[2]数学常数e的含义，果壳科技；

[2]樊蔚勋，论虚功原理；

[4]陈惠发，极限分析与土体塑性。