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一、结构找形的意义
结构的找形分析的意义到底在哪里？来看两个案例：
是不是很惊叹？砌块接缝之间的抗剪承载力这么小，如何能实现大跨且异形的结构呢？
让我们来对比两张简单的力学简图：
以上是一根简单的简支梁的任意位置的内力分析简图。梁的任意位置存在一个竖向力V。梁截面任意位置的M=V×L（式1），梁支座与截面所承担的剪力共同组成了一个力偶。为了使结构受力达到平衡，必须有一个弯矩来平衡这个力偶。而这个力偶只能通过由梁截面承担的弯矩来平衡。
再来看一个拱的内力简图，M+N×H=V×L（式2）。空间拱形结构同时有梁截面弯矩以及一对水平力形成的力偶共同平衡竖向力所形成的力偶。当N×H=V×L（式3）时，截面完全不存在抗弯的需求。此时，结构通过轴力来抵抗外力引起的弯矩。
让我们从两个维度来对比以上简支梁和拱结构的内力图：
（1）对比以上简支梁和拱，简支梁利用梁截面自身承担的弯矩，而拱利用轴力以及结构形状引起的力矩来抵抗外力造成的弯矩。从结构承担力矩的效力而言，仅靠截面自身内部拉压形成的弯矩远不及全截面轴力与相对较大的力矩形成的弯矩。
如此看来，拱结构可以通过轴力来抵抗较大的弯矩。同时对比式2和式3，左边项T×H>>M,因此拱结构可以承担更大的跨度。
（2）再来对比公式2和公式3，左边项分别为N×H+M与T×H。公式2中，M的存在使得截面内部存在不均匀分布的应力，也可能造成截面局部拉压的情况的存在。由于混凝土或者砌体结构的抗拉能力极弱，这种不均匀分布的情况应该尽量避免。
因此公式3的内力状态是我们最终理想的选择。但是公式3中，对于结构来说，H与L是由结构形状确定的，只有当H与L满足相关的尺寸要求时，才能使结构满足完全通过轴力抵抗外荷载引起的弯矩的状态。
再来整理一下公式3，V/N=H/L，”H/L”，是不是想起了空间结构中的一个概念，对，这就是矢跨比，矢跨比越小，水平力承担的弯矩越小，对截面抗弯的要求也就越大，因此，规范对网壳结构矢跨比提出了相关限值要求。
找形的目标，在以上的例子中就是找到H和L的关系。而对于空间结构而言，找形的目标，就是在某种特定的边界条件下，使结构的各个构件处于纯受拉压状态，使结构效能最大化。而这个纯受拉压状态，只取决于结构的几何形状和外荷载分布，与其他因素无关。
二、传统建筑找形分析案例
为找到理想的结构形态，工程师们很早就开始了尝试。利用绳索不具备抗弯承载力，只能受拉的特性，在绳索上施加特定的荷载，绳索与荷载所形成的体系就能自动地变形使绳索处于纯受拉状态。这就是我们常说的悬链线法。
早在16世纪，Simon Stevin（1548-1620）就对悬链线法进行了数学上的论证。
而在17世纪，Robert Hook（1635-1703）以及Christopher Wren (1632–1723)在设计伦敦的保罗大教堂（Paul’s Cathedral）时，就利用悬链线法来设计教堂的砌体结构穹顶。
Paul’s Cathedral
西班牙建筑师Antoni Gaudí (1852–1926) 在设计著名的圣家族大教堂（Colònia Güell）时，也使用了找形的方法。
圣家族大教堂
除了利用绳索外，结构工程师们还利用二维连续的材料进行空间结构的找形。
混凝土薄壳专家Heinz Isler (1926–2009) 开创了利用纺织物进行结构找形的方法。例如在寒冷的冬天，将一块潮湿的布料至于室外使其上冻。布料上的冰等效于均布荷载。最终找到相应的几何形状。他通过利用纺织物找形的方法，设计了诸如Grötzingen outdoor theatre，Restaurant Los Manantiales等著名的混凝土薄壳建筑。
Grötzingen outdoor theatre
Restaurant Los Manantiales
Frei Otto 从1950年代开始在结构找形方面也做了很多极富创新的尝试。例如他创造性地根据不同的材料特性进行不同结构的找形。如肥皂泡沫张拉时，各个位置的张拉应力是常量，因此可以根据肥皂泡沫找形找到应力分布均匀的结构。塑料布的变形通常取决于材料的应变。而网壳结构的形状主要取决于每根杆件轴向的变形，部分取决于剪切变形。
利用肥皂泡沫找形
利用塑料布找形
利用绳索编织的网找形
三、力密度找形的原理
以上的种种尝试，是早期壳体结构设计的主要方式。但是随着计算机技术的发展，结构设计理论与计算机的结合被越来越广泛地应用到工程实践当中。结构的找形分析也可以脱离繁复的通过试验的手段找形的过程，通过数值分析的方法来得到我们想要的结果。
在“非解构”之前的文章《网壳结构找形分析浅谈及案例欣赏》中，我们已经介绍了用有限元法来进行结构找形的方法。今天，我们就来探讨另外一种数值分析的方法：力密度法（Force Density Method,简称FDM）。它是由Schek H J于1974年提出，并由L.Grundi进行了相应的完善。力密度法的特点是只需求解线性方程组，计算精度能满足工程要求，德国的膜结构设计软件 EASY 就是用力密度法找形的。
让我们通过一个简单的案例来理解力密度法的基本原理。以下是节点P0,P1,P2,P3,P4及与之相连的a，b，c，d四根杆件。在P0上作用有荷载pz。其中P1,P2,P3,P4节点已知，外荷载pz已知。
在荷载pz作用于这个体系时，根据我们的力学基础，结构满足以下三个准则：
（1）根据胡克定律，结构上每根杆件的轴力由于结构产生的变形而产生，且成正比。
其中F表示轴力，E表示弹性模量，A表示面积，l0表示构件原长，e表示变形，i表示杆件的编号。
（2）构件的长度等于构件两个节点间的距离。
变形e为杆件变形前后的长度差。
（3）在每个节点处，节点上作用的所有杆件的合力与外力平衡。将任意杆件的内力分解成x，y，z方向的三个力。以x方向的分量为例
其中αi表示每根杆与x轴的夹角，Fi，x表示x方向分力。每个节点位置结构合力为0，得到以下等式：
将每个余弦项转换为用坐标值来表示，得到以下的等式：
将胡克定律公式带入以上的式子，得到以下等式：
可以发现，式子中的x0和ld为未知项，虽然可以通过同时联立x，y，z三个方向的方程求解x0，但是求解这样一个非线性方程组是及其繁复的。因此我们引入了力密度的概念来简化解方程的过程。
再将以上式子进行转化：
将以下方程定义为力密度qi：
将qi引入原方程，得到：
最终通过转化得到点p0的坐标：
这样，我们就得到了未知点P0的坐标。
以上推导过程，就是利用力密度法进行单个节点找形的计算过程。将这个过程引申到任意数量的节点，就能得到空间结构各坐标点经过找形后的节点坐标。根据原来结构之间的拓扑关系，就能得到找形后结构的网格。
四、力密度找形案例
小侬利用python，编写了利用力密度法找形程序，以下是几个简单的结构找形案例：
案例1找形前
案例1找形后
案例2找形前
案例2找形后
案例3找形前
案例3找形后（1）
案例3找形后（2）
案例4找形前
案例4找形后
五、总结
结构找形分析的目的是为了找到最优的结构形态。传统的设计过程中，建筑师往往在概念或者方案阶段充分发挥自己的想象力，但是却忽略了复杂的建筑造型在结构上是否可行或者是否是最优。特别是对于空间异形曲面而言，通过结构在概念方案阶段介入建筑设计，建筑和结构专业共同来寻找最优的空间曲面形态，无论从建筑还是结构层面来说，都是能够最大化发挥本专业最大的效能。从建筑的角度来说，结构找到的形状不仅会出现意外的美感，同时也能使结构材料的利用效率最大化，达到建筑师更大空间，更轻薄的截面的要求。从结构来说，也能使结构的力学性能达到最优。
参考文献：
shell structure for architecture
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