【拓扑优化】浅谈拓扑优化（三）

“基于连续体结构的拓扑优化方法”‍

Wilson:

时隔多日，终于又到了Enjoy Chan分享拓扑优化的季节！

“大家好！我是Enjoy Chan！”

推文【拓扑优化】浅谈拓扑优化（一）于大家介绍了拓扑优化的基本概念，指出拓扑优化分为连续体结构和离散体结构拓扑优化方法。推文【拓扑优化】浅谈拓扑优化（二）与大家讲述了基于离散体结构的拓扑优化方法。本次推文将向大家介绍基于连续体结构的拓扑优化方法。‍

基本概念‍

连续体结构拓扑优化一般是指在给定的载荷和约束条件下，确定连续体内有无孔洞以及孔洞的位置、数量和形状等，以得到使目标性能最佳的材料分布情况。从理论的角度，连续体设计域中的坐标点是无穷的，因此需要利用有限元的方法将连续问题离散化，对于有限单元或有限节点都存在0或1的变量值来决定它的去留。‍‍

基于连续体结构的拓扑优化方法‍

如前文所提及，设计变量由0或1的变量值来决定去留。若设计域中存在n个设计变量，则需要从2^n个方案中寻找最优解。当n足够大时便存在“组合爆炸”的问题，使分析无法顺利进行。基于此，人们往往将设计变量松弛为0-1的连续变量，以利用基于连续变量的导数优化算法来避免离散变量问题求解的困难。‍

变密度法‍‍

变密度法对材料分布的描述可分为单元变量和节点变量两大类。基于单元变量的变密度法对所有单元分别赋予连续取值的变量相对密度ρ。其中，ρ=0表示该结构单元处不存在材料或者由一种假想的“空白材料”所填充，ρ=1表示该单元处为实体材料，0<ρ<1则表示结构单元处由微结构孔洞的材料所填充。‍

基于节点变量的变密度法则是对节点赋予变量ρ，之后根据映射关系得到单元内的材料分布，使单元内部的相对密度为连续的变值。图1分别为基于单元变量和节点变量的变密度法的材料分布示意图。其中，黑色代表实体材料，白色代表空白材料，灰色代表中间密度材料。‍

图1 变密度法的材料分布描述‍

渐进结构优化法（ESO）‍

渐进优化法是变密度法的一种变形，它的相对密度ρ仅有0（空白单元）和1（实体单元）。渐进优化法按照一定的优化准则，逐步去除低效单元，使结构展现出最佳传力路径，从而得到高效的拓扑结果。ESO法的材料分布示意图如图2所示。其中，黑色代表实体材料，白色代表空白材料。‍

图2 渐进结构优化法的材料分布描述‍

水平集度法‍

变密度法和ESO法都属于材料的插值问题，而材料分布的变化实际上等同于材料交界面的变化。水平集度法正是从交界面变化的角度，利用水平集函数来表达动态变化中的结构几何边界。‍

水平集度法是一种以高维函数去描述低维目标的方法。对于如图3（a）中所示的圆，水平集度法在覆盖该圆的区域内定义水平集函数场，此时函数值为0的空间点所构成的等高线即为所需描述的圆（几何边界）。‍

图3 水平集度法对圆的描述

水平集函数场值大于0的位置视为结构内部，充满实体材料；小于0的位置视为结构外部，充满空白材料，以此来描述结构的拓扑情况。与变密度法相比，水平集度法无需引入中间密度材料，其材料分布图如图4所示。‍

图4 水平集度法的材料分布描述‍

对比与应用‍

对同一悬臂构件，利用上述三种不同的连续体结构拓扑优化方法进行分析，分析结果如图5所示。不同的优化方法，除了材料分布描述的不同以外，其采用的数值算法也不同。变密度法多采用优化准则法（Optimality Criteria, OC），收敛速度快，但一般只适用于单约束条件下的优化问题；ESO法则是基于达尔文进化学说，在优化过程中不断删除低效单元，以达到“进化”的目的；水平集度法是在每次迭代时，通过求解反应扩散方程确定边界的演化过程。