【拓扑优化】浅谈拓扑优化（二）

“结构优化的分类与基于离散体结构的拓扑优化方法”

Wilson:

时隔多日，终于又到了Enjoy Chan分享拓扑优化的季节！

“大家好！我是Enjoy Chan！”

本次推文将向大家简要介绍结构优化的分类和基于离散体结构的拓扑优化方法，并在文后引出连续体结构拓扑优化的基本概念。

结构优化的分类

一直以来，结构优化设计（Optimal Structure Designing）都是力学领域的一个重要分支，它以力学为基础，集数学、计算机科学甚至图形学等众多不同学科于一体，旨在满足某种目标（如材料消耗最少化、刚度最大化等），在特定约束下（如体积/重量约束、几何约束等）对结构进行的优化设计。

目前，结构优化一般可分为三个不同的层次，包括：尺寸优化（Size Optimization）、形状优化（Shape Optimization）以及拓扑优化（Topology Optimization），它们分别对应着实际设计中的三个不同阶段。

图1 结构优化的三个不同层次

尺寸优化一般以壳体的厚度或者构件的截面尺寸等作为设计变量来进行优化（设计变量即优化设计中需要改变的参数），如图2所示。

图2 尺寸优化示意图

形状优化是在保证结构拓扑关系不变的前提下，以构件的截面形状、节点的空间位置以及连续体的形状等（修改几何边界）作为设计变量来进行优化，如图3所示。

图3 对连杆进行形状优化以减小局部应力集中

尺寸优化和形状优化可同时进行。基于粒子群优化算法（PSO），华南理工大学建筑工程研究所的李名铠对类桁架结构进行尺寸和形状优化，如图4所示。

图4 基于粒子群优化算法的类桁架结构优化（图片来源：李名铠）

拓扑优化的概念源自于拓扑学（【拓扑优化】浅谈拓扑优化（一））。简单的说，拓扑优化就是确定有限材料在设计域内的空间分布（即以材料在设计域内的空间分布作为设计变量），使拓扑结构在特定条件下满足最大刚度或满应力等优化准则。对建筑结构整体而言，就是确定各构件（梁、柱、墙等）的布局及其节点的连接形式与位置。

图5 顶部扭矩作用下某塔的拓扑优化

基于离散体结构的拓扑优化方法

拓扑优化可分为离散体结构（Discrete structure）和连续体结构（Continuum structure）拓扑优化方法。以桁架为代表的离散体结构拓扑优化方法，旨在满足一定的边界条件下，确定各杆件的最佳尺寸及其最佳的连接方式。该拓扑优化方法具有设计变量少，计算效率高的优点。

对于离散体结构拓扑优化问题，Dorn等在1964年首先提出“基结构”（Ground Structure）的概念。所谓的基结构，是将荷载作用点和约束作用点等一系列点，两两连接而成的初始结构。

而基结构法（Ground Structure Method）就是对基结构的杆件截面尺寸采用优化算法进行优化的过程。即基于满应力原理，根据杆件内力逐步调整杆件截面，使结构所有杆件的应力都趋于指定的应力值，然后消除截面面积小于基准值的杆件（低效杆件），最终得到满足目标约束下的最优结构形式。

除了基结构法，像粒子群算法、蚁群算法等一系列搜索类的算法也大量应用于离散体结构拓扑优化问题（看来通过人工智能来进行结构优化也是指日可待了）。其优化方法在原理上与基结构法一致，只是应用了搜索类算法求解离散问题的特有优势。

算例：图6中各杆的弹性模量E= 206. 9GPa，材料密度ρ= 7.8×103 kg /m3，许用应力[σ]= 172. 4MPa，荷载P1= P2= 0. 45MN,各杆的初始截面积均取为64. 5 cm2，截面积下限取为0.1mm2。在只考虑应力约束的条件下，通过PSO算法，得到了图6右侧所示结果。剩下的杆1、3、4、7、8、9的面积分别优化至51.6、51.6、25.8、36.5、36.5、36.5cm2。

图6 平面十杆桁架和拓扑结果

与离散体结构相比，连续体结构往往需要建立精细的有限元模型，计算效率低。但当拓扑对象不是类桁架结构时（如板开洞等一系列问题），离散体结构常常难以描述，此时则需采用连续体结构拓扑优化方法。

国内外关于离散体结构拓扑优化的相关研究工作已经相当成熟，然而相比之下，具有更大应用范围的连续体结构拓扑优化还存在着许多问题亟需解决。由于计算量庞大，算法复杂等问题，基于连续体结构的拓扑优化发展迟缓。直至有限元的推广和计算机性能的提升，该拓扑优化方法才得以快速的发展。

连续体结构拓扑优化一般是指在给定的载荷和约束条件下，确定连续体内有无孔洞以及孔洞的位置、数量和形状等，进而确定性能最佳的材料分布。从理论上讲，连续体设计域中的坐标点是无穷的，因此需要利用有限元的方法将连续问题离散化，再基于特定的算法决定各单元的去与留。

目前，常用的连续体结构拓扑优化方法包含：均匀化法、变密度法、渐进结构优化法、水平集法等。由于时间有限，下次推文再向大家重点介绍基于连续体结构的拓扑优化方法！

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