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“浅析应力元与位移元，应力元更具优越性”
上周推文【OpenSees】浅析纤维单元的数值积分方法 介绍了纤维单元的多种数值积分方法及其优劣性，本周将介绍两类纤维单元，分别是：位移元（displacement-based）和应力元（force-based）。
在以往多次推文中，都对应力元和位移元进行介绍，但缺乏一次较为完整的总结。在本次推文中，将介绍位移元和应力元的基本理论，并利用算例来探究两种纤维单元的区别所在。
位移元&应力元
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位移元
位移元纤维单元利用线性Lagrange构造轴向位移场，利用3次Hermite构造切向位移场。由于轴向应变为轴向位移的一阶导，同时曲率为切向位移的二阶导，因此位移元内部存在常值轴向应变和线性曲率的问题。
图1 位移元
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应力元
应力元纤维单元假定轴力和剪力在单元内部为常值，利用线性插值来求取截面弯矩。在迭代计算时，应力元存在单元内部的迭代，当截面抗力和截面外力不满足容差要求时，截面不平衡力将转化为截面残余变形，通过高斯积分转化为单元下一步迭代的变形增量。
图2 应力元
算例对比
应力元的误差来源于数值积分，而位移元的误差则由数值积分和位移场。基于构造的位移场，位移元存在常值轴向应变、线性曲率和曲率不连续的问题。一般可通过细分位移元的方式来减少位移场造成的误差，但剖分会增加结构自由度，加大了计算的成本。
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常值轴向应变
（算例来自：【OpenSees】浅析纤维单元的数值积分方法）基于Fixed Location建立3点Gauss-Lobatto积分方法，建立变截面的悬臂构件，在自由端施加轴向力，如图3所示。
图3 常值轴向应变问题
由图3可知，位移元存在常值轴向应变的问题，与解析解间有较大的误差。将位移元均分为3段，每个单元内均采用3点Gauss-Lobatto积分，将计算结果与解析解比对，对比结果如表1所示。由表1可知，当位移元剖分后，其轴向应变可保证较好的精度。
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线性曲率
利用1个应力元、1个位移元和2个位移元分别建立简支梁模型，在跨种施加100kN集中力，采用Guass-Lobbato积分方法，对比曲率计算结果，如图4所示。
图4 线性曲率问题
由于位移场的影响，位移元在单元内部只能反映线性曲率问题。而对于受跨中集中力的简支梁来说，其曲率沿杆件呈二折线分布，因此只采用单个位移元来模拟简支梁难以保证精度，需对位移元进行剖分，而应力元则不存在上述问题。
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曲率不连续
（算例来自：【Perform3D】震惊！其纤维单元竟是位移元！？）利用位移元和应力元分别对框架柱进行低周往复分析。分析时假定塑性铰长度为截面高度的一半，在构件底部算起200mm处将杆件剖分为2个单元。以构件嵌固端为起始，以此对节点进行编号。
图5 曲率不连续问题
数值分析结果与试验结果对比情况如图5所示。位移元的插值方式意味着它属于C1型单元，因此从图5中可以发现，位移元的曲率在单元间不连续。
总 结
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位移元纤维单元利用线性Lagrange构造轴向位移场，利用3次Hermite构造切向位移场。
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应力元纤维单元假定轴力和剪力在单元内部为常值，利用线性插值来求取截面弯矩。
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位移元存在常值轴向应变、线性曲率、曲率不连续的问题。
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为满足计算精度，需对位移元进行剖分，但剖分增加了自由度，加大了计算成本。
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在对梁柱单元的非线性分析中，笔者常采用应力元纤维单元。
本周笔者看到人民日报的一篇推文：【关注】紧急警告！这个国家的政府，正毁掉中国高材生的前途！笔者的朋友也不幸是这批被澳洲政府阻挠的博士生之一。从2017年5月开始，大批获得公派和全额奖学金的博士生被澳洲政府白白浪费了大半年的青春。澳洲移民局即不下签也不拒签，如此傲娇的移民局真是闻所未闻！
点击“阅读原文”可下载本次推文的所有OpenSees模型。
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