“通过假定转角验证Perform3D梁柱纤维单元属于位移元”

本想这周与大家分享离散元的学习心得，可惜仍处于初步探索阶段，因此离散元还是放到下周再分享吧。

Perform3D做为商用软件，部分计算参数无法提取，如积分点数目、积分点处曲率等等。因此即使我们了解位移元和应力元在曲率层次上的差异，也难利用这一特性来判别Perform3D的纤维元类型。

本文将简要介绍应力元和位移元的特点，并利用算理来呈现两种单元之前的区别，在文章最后通过假定转角A1来判别Perform3D的梁柱纤维单元类型。

位移元＆应力元

位移元梁柱纤维单元又称为基于刚度法的纤维元。该单元积分点处的位移可通过3次Hermit多项式插值得到。通过截面变形和截面力-位移关系（纤维材料）可求得截面刚度矩阵和截面抗力向量，再沿单元积分获得单元刚度矩阵和单元抗力向量。

位移元纤维单元计算简图

应力元纤维单元又称为基于柔度法的纤维元。该单元积分点的截面力通过线性插值获得，利用上一迭代的截面柔度矩阵将截面力转化为截面变形，根据纤维材料计算截面抗力和新的截面柔度矩阵。当截面抗力和截面力满足不了容差时，根据柔度矩阵将截面不平衡力转化为截面残余变形，进而进入下一步迭代（单元内部迭代）。

应力元纤维单元计算简图

由于位移元采用3次Hermit插值，因此单元内部曲率沿杆长线性分布。除此之外，位移元的插值方式也意味着它属于C1型单元，该单元的曲率在单元间不连续。正因为位移元存在线性曲率的问题，导致其无法准确模拟构件端部屈服后的曲率分布。为减少Hermit插值函数造成的误差，可通过细分杆件的方法来模拟构件的变形。

而应力元通过线性插值求取截面力，再根据截面柔度矩阵求取截面变形，因此应力元不存在线性曲率的问题，且单元间可满足截面变形协调条件。

综上所述：位移元与应力元相比，最大区别在于其单元内部存在线性曲率的现象，且单元间曲率不连续。

算例

本小节以龚涣钧师兄毕业论文中的C4-0.78-0.6框架柱试验为分析对象，利用OpenSees分别建立应力元纤维模型和位移元纤维模型，以此来呈现两类单元的差别。

C4-0.78-0.6框架柱（图片来源：龚涣钧）

OpenSees纤维模型中，混凝土均采用Concrete02本构，钢筋均采用Steel02本构。其中约束混凝土利用mander约束混凝土本构骨架曲线进行拟合。

分析时假定塑性铰长度为截面高度的一半，在构件底部算起200mm处将杆件剖分为2个单元。以构件嵌固端为起始端，依次对单元的节点进行编号（分别为节点1、2、3）。

材料滞回本构

位移元和应力元分析结果均与试验值接近，验证两类非线性单元模拟的准确性。笔者提取顶点位移40mm时的单元内部积分点的曲率，并绘制于图中。由图可知，位移元的曲率在单元内部呈线性分布，且曲率在单元节点处不连续。当位移元在构件端部剖分数目不足时，构件端部的曲率和应变与应力元计算值（接近于真值）间存在巨大的差别。

Perform3D纤维元类型判别

由上文可知，根据曲率分布特性和连续性可直接判别纤维元的单元类型。

但事与愿违，Perform3D做为一款商用软件，很多参数并未提供给使用者。单元建模时，可能是为了方便工程师的使用，它并未要求输入构件积分点的数目，因此我们无法得知积分点的数量，更无法得知积分点位置的曲率。软件仅仅提供了纤维单元内部的最大曲率值，因此无法绘制出曲率沿杆件的分布情况，无法观察到曲率突变等现象，进而无法判断其单元类型。

由于无法从曲率层次判断Perform3D的纤维元类型，笔者尝试利用更高的阶次（转角）来判别纤维元，提出了通过假定转角A1（无物理意义）来判别Perform3D纤维元类型的方法。转角A1为下图的红色阴影面积，它是利用悬臂杆件上相邻单元的最大曲率，通过梯形公式积分而得。

由图可知，当构件进入塑性时，位移元的转角A1恒小于节点2的转角值，应力元的转角A1恒大于节点2的转角值。从曲率特性上讲，当节点2位于真实的塑性铰区域外时，上述结论是恒成立的（欢迎证伪）。

根据上述结论，利用Perform3D中相邻单元的最大曲率，可判断Perform3D的纤维元类型。为了验证方法的可行性，笔者利用算例中的OpenSees应力元和位移元进行Pushover分析，绘制转角A1和节点2的转角与顶点位移的关系曲线。

由图可知，当构件进入塑性后，OpenSees应力元的A1值恒大于点2的转角值；OpenSees位移元的A1值恒小于点2的转角值，验证了上述通过转角A1判别单元类型方法的可行性。

利用Perform3D建立算例的框架柱模型。分析时假定塑性铰长度为截面高度的一半，在构件底部算起200mm处将杆件剖分为2个单元。以构件嵌固端为起始端，依次对单元的节点进行编号（分别为节点1、2、3）。

由图可知，Perform3D纤维单元的A1值小于节点2的转角值。由此得证，Perform3D的纤维单元为位移元纤维单元（基于刚度法的纤维单元）。

陈学伟博士曾在某次讲义中谈及，Perform3D中加入了柔度法纤维单元（即应力元）。若上述单元鉴定方法可行，则Perform3D中的纤维单元应属于刚度法纤维单元（即位移元）。

（图片来源：陈学伟博士）

当Perform3D中的纤维单元为位移元时，若构件塑性区没有得到足够的剖分，构件的曲率和应变与真值相比将存在巨大的误差。譬如说上文算例中，当构件顶点位移为400mm时，材料应变和截面曲率的真值则为位移元计算值的4~5倍，位移元计算值偏不安全。

若在构件屈服后，想通过Perform3D来获取构件准确的材料应变和截面曲率，则需要对塑性区的非线性单元进一步剖分。建议把塑性区域的纤维单元剖分为3~5段。

总     结

• 位移元纤维单元存在单元内部曲率线性和单元间曲率不连续的问题。

• 提出通过假定转角A1（利用悬臂杆件上连续单元的最大曲率进行梯形积分获得）判定纤维元类型的方法，利用该方法判定Perform3D中的纤维单元为基于刚度法纤维单元（即位移元）。

• 构件屈服后，Perform3D计算所得的材料应变和截面曲率小于真值。宜对塑性区域的纤维单元进一步剖分，方可获得较为准确的数值解。

探究Perform3D纤维元类型的战线其实拉得很长。前年接触OpenSees后，开始了解到纤维元存在应力元和位移元，因此开始尝试探究Perform3D的纤维元类型。当时仅通过应变精度来初步反映其单元类型接近于位移元，但无法严谨的证明。

去年有限元课程的学习，使以往遇到的很多问题都得到了理论性的解决。通过课程了解到位移元的位移是通过三次Hermit插值获得，那么由于曲率是位移的二阶导，因此位移元的曲率在单元内呈线性分布，无法反应构件进入塑性后的曲率分布情况。当时认为线性曲率是位移元和应力元的最大差别。

到了后半年，开始重新审视位移元的C1型特性，意识到位移元在单元间曲率不连续的重要性。相比之下，应力元纤维单元通过弯矩线性插值和截面柔度矩阵来求取曲率，因此其曲率在单元间是连续的。这才发现曲率不连续才是位移元和应力元的最大区别。

由于Perform3D无法获取积分点处的曲率，因此无法通过曲率分布特性和连续性来判断其纤维元类型。近期发现，可通过比曲率更高阶的转角来反应单元类型，虽然利用悬臂杆件上连续单元的最大曲率积分获得的转角值不存在物理意义，但它仍能在判别纤维元类型的问题上发挥着巨大的作用。

可点击“阅读原文”下载本次推文的分析模型。