“转自：结构设计-公众号“

上一篇里，我们求得了各个振型的地震位移响应和加速度响应。我们在 part.7 里说到了，所谓的振型分解就是把多层房子分解成多个基本振型，整个房子的情况等于这几个基本振型的叠加。我们现在已经得到了每个振型的情况，接下去需要做的就是把它们组合起来了。

剩下的问题就是，应该怎么组合呢？

首先我们来看位移的组合，也就是如何把每个振型的位移组合成为三层房子各层的位移。

我们先把 D1、D2、D3 绘制出来做一个比较：

注意到，虽然这三者都是上下来回波动，但是它们波动的幅度大不相同。为了方便比较，我们把它们的纵坐标换成同样的比例。

从这个同样比例的图形中，我们可以清楚的看到，与 D1 相比，D2 和 D3 的数值非常小，几乎可以忽略。

如果忽略了 D2 和 D3，那也就是前面说的近似方法了。现在我们不近似，把 D2 和 D3 都组合进来。

我们在 part.8 里得到了 normalize 之后的特征矩阵和三个振型的参与系数。参与系数的项与特征矩阵的列相乘，就得到了各振型的位移的参与系数。

也就是说，最终的位移组合是这样的：

D1、D2、D3 就是我们上面求出来的三个红色的位移曲线。

我们把上面的 D1 乘以 0.543，D2 乘以 0.349，D3 乘以 0.108，再把它们加起来，得到的就是一层位移。D2 和 D3 本来就很小，再乘以0.349、0.108 这样的系数之后，所起的作用就更小了。

同样的道理，我们把 D1、D2、D3 按照第二层的位移组合系数叠加起来，我们就得到了第二层的地震位移响应。

再把这个过程重复一遍，就得到了第三层的地震位移响应。

我们在 part.2 里计算的单层房子的最大地震位移是 21.7 毫米。而对于三层房子，一层的最大位移达到了 66.6 毫米，二层的最大位移为 121.8 毫米，三层的最大位移则是达到了 153.3 毫米。

通过这个简单的对比，单层的质量和刚度不变，仅仅是层数变到了 3 层，地震位移就比一层房子大出了这么多。现在您明白为什么修房子不是简单的垒积木了吧。对于广大农村自建房，如果没有完善的抗侧向力体系，只是单纯的一层层的摞上去，一旦地震来袭，震害会非常严重。

地震位移是各振型位移的叠加，地震力也同样如此。我们在 part.8 里得出了各振型的有效质量。每层质量300吨，换算成千牛、毫米和秒，每层质量为 0.3，各层质量分配到各振型里是这样的：

对于第一振型来说，三层 0.366，二层 0.294，一层 0.163。我们在 part.6 里提到了如何从各楼层的地震作用力得出各层柱子的地震剪力，同样的道理，我们也能得到第一振型各层柱子的地震剪力。

同样的方法，我们也能得到第二振型的 Vs2 和第三振型的 Vs3，这也就是各振型的地震加速度组合系数。

跟位移组合一样，对于地震加速度，我们把 Vs 系数和各振型的 A1、A2、A3 组合起来，就能得到三层房子的楼层剪力。

跟位移一样，我们先把A1、A2、A3 绘制在一起做一个比较。

这里我们用毫米每秒平方来做单位，重力加速度约等于9800毫米每秒平方，也就是 A1 最大值差不多是1.5g，A2 和 A3 最大值大约 1g 左右。

对于三层剪力来说，等于0.366倍的A1加上-0.084倍的A2加上0.018倍的A3。也就是把上面的三条蓝色曲线乘以系数，然后叠加起来，就得到了三层的剪力。

同样的方法，我们可以得到第二层的地震剪力：

第一层的地震剪力，也就是底部剪力：

跟位移的情况类似，对于地震力来说，第二振型、第三振型的贡献也非常小，基本还是以第一振型为主。

我们看一下每层地震剪力的最大值，也就是上面这三条黑色地震剪力曲线的最大值。三层 6416 千牛，二层 11047 千牛，一层 13311 千牛。把它们折算成每层的地震作用力，结果是这样的：

也就是说，三层的地震作用力是 6416，二层是 4631，一层是 2264。还记得我们 part.6 里是怎么把总的地震力分配到各个楼层吗？那时候我们说，是按照质量和高度的乘积进行分配，三层分得二分之一，二层分得三分之一，一层分得六分之一，也就是 3：2：1 的关系。现看 6416：4631：2264，其实是 2.83：2.05：1。是不是很接近呢？您现在明白 part.6 里为什么要这样分配了吧。

如何验证一下我们振型分解得出的最终地震剪力是否正确呢？从上面的振型叠加可以很清楚的看到，第二振型、第三振型都在打酱油，绝大多数都是第一振型贡献的。我们还记得，我们这个三层房子的第一周期是 0.547 秒，而我们在 part.4 讨论反应谱的时候，周期 0.5 秒对应2.14，也就是最大地震力是自身重力的 2.14 倍。我们的房子每层300吨，总重900吨，也就是8826千牛。8826乘以2.14，等于18888千牛。而我们振型分解得出的结果是13311千牛，虽然不完全一致，但起码在同一个数量级上。

有看官说了，折腾了半天，这第二振型、第三振型基本没有什么作用啊，那还分解个什么劲儿啊。之所以会这样，是因为我们这个例子里的三层房子规整的不能再规整了，每层的质量和刚度都一样。现实世界里的房子千差万别，每层的平面尺寸、高度、用途、重量、柱子尺寸、柱子数量可能都会不同。这种情况下，第二振型、第三振型以及可能有的第 N 振型就不再只是打酱油了。

还有看官说了，你在 part.4 讲反应谱的时候说了，所谓的抗震设计要考虑这个地区可能发生的各种地震的情况，而不只是某一次地震，这也就是规范里的设计反应谱的意义。今天的这种动力时程分析只适用于这一次地震，如何考虑其它可能的地震呢？这种振型分解的方法跟我们前面推导的反应谱有什么关系？规范规定的反应谱又该如何应用到这种方法里呢？动力时程的计算量也实在太大了一些，有没有什么合理高效又实用的简便方法呢？

您且稍待，且听咱们下回分解。