“转自：结构设计-公众号“

今天继续振型分解。上一篇我们通过特征矩阵和质量矩阵、刚度矩阵得到了 principal 质量矩阵和刚度矩阵。

把这两个矩阵的三个数值分别一一对应起来，0.552质量对应72.933刚度、0.859质量对应890.34刚度……刚度除以质量，然后再开平方，得到的就是频率。

发现了什么没有？没错，我们得到的就是房子的三个自振频率。

我们再回过来看我们的特征矩阵是如何得到的。

注意到，我们人为规定了的特征矩阵的第三行等于1。事实上，这只是一个人为规定，并没有特别的意义。我们完全可以规定让第一行都等于1，或者第二行都等于1，或者某一行都等于0.5。

比如说，我让第二行都等于1，此时特征矩阵和 principal 质量矩阵、刚度矩阵就变成了这样。

这时候，principal 矩阵还是只有主对角线上不为零，但与上面相比，数都变了。但是，数变了不要紧，把它们一一对应起来，得到的还是自振频率。

也就是说，单纯的缩放特征矩阵的某一列或者某几列，并不会影响到我们的结果。那问题就来了，对于特征矩阵来说，任意的缩放某一列或者某几列，可以得到无数的结果。我们如何给出一个相对统一的标准呢？换言之，我们 normalize 特征矩阵的时候，比较合理的目标是什么呢？

比如说，我们可以让目标是主质量矩阵的对角线都是单位质量，也就是都是1。换言之，我们要让上面主质量矩阵里的 0.859、2.789、0.552 这些数都变成 1。怎么做到呢？其实也很简单，特征矩阵的第一列除以主质量矩阵的第一项的平方根，第二列除以主质量矩阵第二项的平方根……

把特征矩阵的各列分别缩放，我们就得到了这个新的特征矩阵。

用这个新的特征矩阵，我们就得到了 normalize 之后的质量矩阵和刚度矩阵。这种 normalize 的方法，一般叫做 mass orthonormal set。注意到，得到的质量矩阵 Mn，主对角线都为1，而刚度矩阵 Kn，主对角线的值都是自振频率的平方，比如132.042是第一频率11.491的平方，1036.639是第二频率32.197的平方。

接下来，我们还得再定义一个叫做 influence vector 的向量。什么意思呢？意思就是当地面发生静态的单位位移的时候，各个楼层会发生多少位移？有看官说了，这不是废话吗，地面发生1的单位位移，不就是整个房子平移了嘛，每一层都是1呗。不错，因为我们只考虑水平方向的地震，暂时还没有考虑竖直方向的地震，所以对于绝大多数房子来说都是如此。

所以呢，我们这个三层房子的 influence vector 就是 1、1、1。

把我们的初始的质量矩阵跟这个影响向量相乘，我们就得到了一个质量的向量。什么意思呢？这个向量表示的就是当房子整体平移的时候，每个楼层处发生平移的质量。对于绝大多数情况来说，其实很简单，得到的就是每一层的质量。

说了半天，我们终于快说到振型分解了。我们上一篇说道，所谓的振型分解，就是把房子分解成三个基本振型的叠加。到底分解的是什么呢？答案就在这里，我们其实分解的是质量。也就是说，整个房子的质量是一层0.3、二层0.3、三层0.3。我把这些质量合理的分配到三个振型里去，比如对于一层来说，第一振型0.2、第二振型0.07、第三振型0.03，加起来等于总的0.3。对于二层也是如此，只不过可能分配的比例有所不同，三层也是一样。

这样一来，我们就得到了每种振型对应的质量，进而我们就能知道每种振型在地震下的反应了。问题就又来了，到底如何分配呢？

对于每个振型，我们定义两个参数，一个是 Lh，一个是 M。

其实很简单，因为我们每一层的质量都一样，所谓的 Lh 就是把 normalize 之后的特征矩阵的每一列加起来，再乘以单层的质量 0.3。

而参数M其实也就是 principal 的振型质量，也就是都是1。或者，也可以验证计算一下，跟上面的过程一样，只不过需要再平方一下。

把这两个参数相除，我们就得到了各振型的地震参与系数。

地震参与系数有什么用呢？根据这个参与系数，我们可以进一步得到各个振型对位移、地震力的贡献。换言之，也就是把每一层的有效质量 0.3 分配到每个振型。

虽然看上去很复杂，其实是这么算的：

也就是说，我们已经把每一层的质量分配到了各个振型。为了方便理解，我们可以把质量单位转化为吨。

一层的300吨，分配到第一振型163吨，第二振型105吨，第三振型32吨，加起来刚好300吨。同样，二层的300吨，第一振型294吨，第二振型47吨，第三振型-40吨。三层的300吨，第一振型366吨，第二振型-84吨，第三振型18吨。

或者，我们以300吨为单位质量，把质量在振型中的分配也 normalize。

图像化表示的话，有效质量在振型中的分配是这样的：

把每个振型的各层有效质量加起来，就得到了每个振型的有效质量。比如对于第一振型，0.54加0.98加1.22等于2.74，对于第二振型，0.35加0.16加-0.28等于0.23，第三振型的0.11加-0.13加0.06等于0.04。

三层房子，每层质量为1，总质量为3。而我们的第一振型的有效质量是2.74，第二振型是0.22，第三振型是0.03，加起来等于总质量3。也就是说，第一振型占到了总质量的91.4%，第二振型占7.5%，第三振型只占1.1%。从上面的图像也能很直观的看出，第一振型占了绝大多数有效质量，第二振型所占很少，第三振型更是可以忽略。

在我们 part.6 的底部剪力法里，我们说近似可以用第一周期来代表房子的自振特性。换言之，我们认为整个房子的有效质量都分配到第一振型，忽略第二振型和第三振型的存在。我们今天的振型分解结果表明，第一振型占到了91.4%，作为近似计算，可以近似认为约等于 100%。这也就是底部剪力法的合理性所在。尽管不够精确，但是底部剪力法可以快速的近似估算地震反应的大小，为设计和分析提供了一种合理的近似方法。

得到各个振型的参与系数和有效质量之后，下一步我们就能确定地震下每种振型的反应情况了，进而将它们组合叠加成为整个房子的地震响应。欲知详情如何，且听下回分解。