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对于我们的三层房子，我们用求质量矩阵和刚度矩阵的特征值的方法得出了房子的自振频率，进而确定了房子的自振周期。

质量矩阵和刚度矩阵的意思，我们前面已经说过了。这两个矩阵的特征值再开方，就是自振频率。同时，我们还得出了这两个矩阵的特征矩阵。那么自振周期和特征矩阵有什么进一步的用处呢？

注意到，通过等比例缩放特征矩阵的列，我们使得特征矩阵的第三行值都是1。这个特征矩阵是什么意思呢？

如果我们取特征矩阵的任意不相同的两列，比如第一列和第二列，第二列和第三列，其中之一转置之后，乘以质量矩阵或者刚度矩阵，再乘以剩下的那一列，那么结果都是0。

只有当我们取同样的列的时候，比如第一列的转置，乘以质量矩阵，再乘以第一列，这时候结果才不为0。

这也就是正交的概念，所谓的 orthogonality。把特征矩阵的转置，乘以质量矩阵或者刚度矩阵，再乘以特征矩阵，我们就能得到 principal 质量矩阵或者刚度矩阵。

换言之，特征矩阵可以帮助我们把这个三层房子的各种可能的位移模式，变成三个基本位移模式的叠加，这三个基本的位移模式，也就是所谓的振型。

三乘以三的特征矩阵，第一行代表第一层，第二行代表第二层……而第一列代表第一振型，第二列代表第二振型……

对应于特征矩阵，我们就得到了三层房子的三种振型。

三种振型下三个楼层的相对位移，就对应着三乘三的特征矩阵里的九个数值。这就是这个三层房子的三种基本振动模式，任何可能的变形模式都能表示成这三种振型的叠加。

比如说，房子的振动模式是一层位移0.3、二层位移0.5、三层位移1，换言之，还是变形金刚推房子，一层推到位移为0.3，二层的位移为0.5，三层的位移为1，然后三个变形金刚一起松手，让房子自由振动。那么这种变形其实等于0.833倍的第一振型，加上0.122倍的第二振型，再加上0.045倍的第三振型。

第一振型的0.445、0.802、1，乘以0.833后等于0.371、0.668、0.833；同样，第二振型乘以0.122，得到-0.152、-0.068、0.122；第三振型乘以0.045，得到0.081、-0.101、0.081。把每个振型的第一层加起来，也就是0.371加-0.152加0.081，就等于0.3。同样，三个振型的二层加起来，等于0.5；三个振型的三层加起来，等于1。
也就是说，这其实是一个三元一次方程组。我们把0.3、0.5、1这组值转化成了三个基本振型的线性叠加。

同样的道理，任意的位移模式都可以转化为三个振型的叠加。比如-1、-0.5、1这组位移，其实等于0.084倍第一振型，加0.882倍第二振型，再加上0.035倍第三振型。

我们可以对比一下上面的这两个例子。虽然都是由三种振型叠加而成，但这三种振型占的份额并不相同。第一个例子里第一振型占了绝大部分份额，而第二个例子里则是第二振型起到了主导作用。这是因为，我们的第一个例子的振动模式非常接近于第一振型，而第二个例子的振动模式则是接近于第二振型。

我们还可以举更加随机的例子，比如三个楼层的位移为1、-1、1，这时候可以说第三振型占了很大一部分，但第一振型的贡献也不能忽略。

到现在为止，通过特征矩阵和基本振型，我们已经可以把三个楼层任意的位移分解成三种振型的叠加了。这又有什么用呢？和地震有什么关系呢？

现在我们需要一点逆向思维了。已知房子的位移，我可以用这种方法转化成三种振型的叠加。但我们实际上并不知道地震下房子的位移。反过来想，如果我们能求出地震下每一种基本振型的位移，再把它们按一定的系数合理的叠加起来，不就能得到地震下整个房子的位移情况吗？

比如说，如果我知道某个地震作用下，第一振型对应的位移是0.371、0.668、0.833，第二振型对应的是……那我把这三种振型叠加起来，我就能知道房子在地震下的位移是0.3、0.5、1。换言之，只要我知道 0.833、0.122、0.045 这一组叠加系数，我就能求出 0.3、0.5、1 这一组位移模式。这也就是振型分解法的基本思路。

问题又来了，如何知道这三种振型在地震下的位移是多少呢？如何知道每种振型占多大的份额呢？怎么确定振型的叠加系数呢？众位看官，且听我们下回分解。