扎哈穿着她毕生热爱的叶状结构(foliation)。扎哈的衣服被分解为许多片“叶子”，这些叶子层叠联缀成曲面，一如她设计的建筑。

顾险峰

(纽约州立大学石溪分校终身教授，清华大学丘成桐数学科学中心访问教授，计算共形几何创始人)

2016年愚人节前夕，国际建筑界公认的“解构主义大师”，素有“女魔头”之称的英籍伊拉克裔建筑师扎哈·哈迪德（Zaha Hadid）因心脏病发作辞世。扎哈的设计惊世骇俗、突兀大胆、超越时代。她被公认为是最独一无二的建筑天才，其创意天马行空，空前绝后。她的设计不仅仅开创了一种风格，形成了一个流派，更影响甚至颠覆了当代设计美学。

扎哈·哈迪德于2004年获得普利兹克建筑奖（Pritzker Architecture Prize)，该奖项的折桂也让她创下了两个之最：奖项创立25年以来的第一位女性得主，以及该奖最年轻的获奖者。她于今年刚刚获得英国皇家建筑师学会金牌（Royal Institute of British Architects Gold Medal），并成为获得该殊荣的首位女建筑师。扎哈的突然早逝让热爱她的人们无法接受，全球都用特殊的方式缅怀她那不可一世的霸气和永垂不朽的曲线。

那么，扎哈为什么能够解构现代建筑设计，她究竟是如何解构和突破传统的设计美学的呢？虽然笔者对建筑设计一窍不通，但是依然能够从拓扑和几何的角度领略到扎哈设计的精妙之处。

对第一个问题，扎哈的个人经历无疑起到了至关重要的作用。她出生于伊拉克首都巴格达一个地位显赫的家庭。伊斯兰教反对偶像崇拜，因此发展了基于几何的视觉艺术，丰富而抽象。童年时期，扎哈痴迷于精美繁复的波斯地毯，总是专注地观察着波斯地毯中神秘玄妙的图案。扎哈的父亲送给她一面不对称的镜子，使得她爱上了不对称。因此，在扎哈后期的设计中，我们极少看到整体的对称性。与之相反，在荷兰画家埃舍尔的作品中，对称群实际上成为了艺术的灵魂。扎哈在瑞士的一所女子贵族学校度过了中学时代，而后在黎巴嫩著名的贝鲁特美国大学AUB学习数学专业。伊斯兰的几何艺术传统，和抽象几何的数学美感，深深地溶入到扎哈的血液之中。无论她主观上是否刻意为之，抽象几何的直觉始终贯穿她终生的创作。

对于第二个问题，简而言之，从拓扑和几何的角度而言，扎哈在如下几个方面颠覆了传统：拓扑的颠覆、曲率的颠覆、稳定性的颠覆、叶状结构的突破，等等。从扎哈的作品中，我们看到了复杂拓扑、凸体几何、双曲几何、黎曼面理论等现代数学的精髓。

拓扑学又被称为是橡皮膜的几何学。假设曲面由橡皮膜制成，我们将曲面拉伸挤压，扭转撕扯，但是保证不撕破，不粘联，变形后的曲面保持拓扑不变。封闭曲面的拓扑复杂度主要是由所谓的“亏格”来决定。直观而言，亏格就是“环柄”的个数。比如球面没有环柄，因此亏格为零；轮胎表面有一个环柄，因而亏格为1。

图1. 曲面的亏格代表环柄的个数，这里的曲面亏格为2

传统建筑设计中，建筑物的整体拓扑都是简单的。绝大多数建筑物的表面都是拓扑球面，比如北京奥运会的游泳馆“水立方”的表面就是拓扑球面。标新立异的央视主楼，实际上可以被想象成是一个巨大的轮胎，因此亏格为1。

图2. 水立方的表面是拓扑球面，亏格为0的曲面

图3. 央视主楼，亏格为1的曲面

图4. 扎哈设计的澳门新濠天地酒店，亏格为3的曲面

图5. 澳门新濠天地酒店的拓扑解释

扎哈设计的澳门新濠天地酒店的亏格居然高达3，如图4所示。我们将此曲面加以形变，变换为图5的几何曲面，我们看到曲面有三个环柄，因此亏格为3。我们将曲面三角剖分，所谓剖分就是将曲面分解成马赛克拼图，每个马赛克都是一个三角形。一般建筑设计中，都把结构性的构建隐藏在建筑表面之下。但是，在扎哈的设计中，她石破天惊地把三角剖分完全暴露在光天化日之下。因为她坚信自己的美学标准：三角剖分具有内在的组合美感。同时，扭曲而倾斜的亏格给人以流畅的动感，僵硬的立方体外壳提供了整个空间的框架，内部拓扑变换，使人深深地浸陷在空间扭曲之中。

传统的建筑以立方体形状为主，地面墙壁，天花顶棚，泾渭分明。建筑的各个侧面都以欧几里得平面为主。换言之，房间表面曲率几乎处处为零，所有曲率都集中到几个尖角处。穹庐形屋顶也比较常见，穹庐曲率处处为正。

扎哈设计的盖达尔·阿利耶夫中心将地面、墙壁和顶棚融合成一张柔和光滑的巨大曲面，曲面呈流线形状，在苍茫的天幕下，在猎猎罡风中飘扬浮动。整个建筑曲面曲率处处非零，时正时负。一方面，曲面复杂的几何为工程施工带来了巨大的困难，整张曲面无法用平直的预制板来拟合，必须用数目繁多的三角网格来逼近，并且不同的三角形板材形状彼此不同，无法成批量大规模制造。另一方面，从力学角度而言，负曲率的曲面的承重能力远远小于正曲率曲面的承重能力，增大了冬季雪灾的风险。同时，穹庐形曲面的内部空间远远大于负曲率曲面的内部空间，因此，这种设计的空间利用率较低。

图6. 盖达尔·阿利耶夫中心

图7.扎哈设计的建筑曲面工艺复杂，造价昂贵

虽然，从工程造价上讲，这种设计过于昂贵；从空间利用率上讲，这种设计远逊于传统方法；从力学角度而言，这种设计的耐压性很差，但是这一切对于美学价值而言，微不足道。扎哈为了追求几何上的纯粹之美而聛睨一切、一挚千钧！再度彰显她不可一世的霸气！

图8. 扎哈设计的广州歌剧院，显示了凸壳结构

扎哈设计的广州歌剧院宛若两颗砾石饱受江水的冲刷，棱角日渐模糊。实际上，绝大多数的鹅卵石都是凸体。所谓凸体，就是体中任意两点之间的连线仍被包含在体之中。石头被江水冲刷，和河床摩擦，每一次都是沿着一个平面打磨，石头整体位于打磨平面之上。几何上，如果一个封闭曲面位于它的每一个切平面的一侧，那么曲面必然是凸曲面，曲率处处为正。给定三维空间中的几个点，包含这几个点的所有凸体之交，或者等价地，包含这个点的最小凸体，被称为是这几个点的凸包或凸壳（Convex Hull）。扎哈设计的歌剧院，其造型非常接近角点的凸壳，中间用三角剖分镂空，晶莹剔透，巧夺天工。

扎哈的设计中有些非欧几何的元素。双曲空间（Hyperbolic Space）是曲率处处为负的空间，双曲平面无法在平直的欧式空间中实现，我们可以借用庞加莱模型（Poincare Model）来体悟和感受。图9是荷兰著名画家埃舍尔（Escher）的名作《天使和恶魔》，画中的天使和恶魔相互衬托，互为表里，天衣无缝地构成双曲圆盘的镶嵌。从欧式度量的角度来看，中央的天使比边界的天使要大一些；但是从双曲度量角度来看，圆盘中所有的天使都具有相同的尺寸。从中心到边界，有无穷多个天使，因此双曲空间是无穷大的。一个人，从中心出发以恒定速度沿着一个方向走向边界，他永远也无法到达边界！

图9. 埃舍尔的天使和恶魔

图10. 扎哈设计的灯具

图10是扎哈设计的灯具，如果以双曲度量（hyperbolic metric）的背景来看，图案的几个角点是双曲空间的无穷远点（infinity point），灯具的轮廓线接近双曲空间中的测地线（geodesic）。一方面，整个图案貌似几条巨大的蝙蝠鱼（Stingaree）；另一方面，每条蝙蝠鱼都接近其角点的双曲凸壳（hyperbolic convex hull）。

扎哈的设计中用到了共形几何（Conformal Gemetry）的本质特性。图11显示了从人脸曲面到平面单位圆盘的保角映射。我们用许多小圆紧密填充单位圆盘，这些小圆被保角映射拉回到人脸曲面之上得到它们的原像。我们看到小圆的原像是人脸曲面上的小圆。这显示了保角变换的本质特点：把源曲面上的无穷小圆(infinitesimal circles)映到目标曲面上的无穷小圆。这里我们看到所谓的圆盘填充（circle packing）的模式。所谓圆盘填充是指给定一个三角剖分，我们在每个顶点处放置一个圆盘，每条边的两个顶点处的圆盘彼此相切。图11也表明，我们可以用圆盘填充来铺满任何曲面。

图11. 人脸曲面的保角变换，把无穷小圆映到无穷小圆

图12. Zaha Hadid design，Szervita Square Tower in Budapest， Hungary。显示了曲面上的Circle Packing

毫无疑问，扎哈早已领悟到共形几何这一精髓。如图12所示，扎哈设计了布达佩斯特的Szervita广场塔，其建筑表面为一光滑曲面，具有连续的曲率变化。在塔表面，覆盖了圆盘填充。圆盘填充的精确计算需要求解非线性方程，扎哈的几何直觉实在是令人匪夷所思。

图13. 扎哈设计中的叶状结构（Foliation）

扎哈设计中最为标志性的本质特征是“永垂不朽的曲线”。在图13中，扎哈设计的建筑物表面被分割成柔美流畅的一族曲线，灵动而和谐。在几何上这对应着叶状结构（foliation）这一概念。所谓叶状结构就是将高维流形分解成低维流形，这里将曲面分解成一族曲线，每根曲线被称为是一片叶子，叶子层叠在一起构成原来曲面。

图14. 亏格为3的曲面上的叶状结构（Foliation）（作者雷娜、郑晓朋）

图14显示了亏格为3的曲面上一种叶状结构，局部上叶子彼此平行。叶状结构的奇异点处，叶子分成三岔，奇异点的个数等于曲面的欧拉示性数。

图15. 扎哈设计的银河Soho中的叶状结构（Foliation）

图16. 银河Soho的叶状结构（Folation）

图15和图16展示了扎哈设计的坐落于北京东二环的银河SOHO， 其叶状结构流畅飘逸，美轮美奂。那么，如何在数学上衡量一个叶状结构所带来的美感呢？实际上，扎哈设计的叶状结构都是和谐叶状结构（harmonic foliation），也是最为自然的叶状结构。如果我们将每一片叶子看成是一条流线，将叶状结构视作一个流场，那么和谐（harmonic）意味着流场没有漩涡，即旋量为零；同时流场没有源或汇，即散度为零。这种流场使得所谓的调和能量达到极小，因此是最为稳定而自然的流场。

图17. 韩国首尔的东大门设计广场显示了全纯二次微分（Holomorphic Quadratic Differential）

每一个调和的叶状结构都有一个和其处处垂直的叶状结构，它们彼此共轭。一对共轭的叶状结构组成了曲面上的一种特殊的几何结构，实际上是黎曼面上的全纯二次微分（Holomorphic Quadratic Differential )。图17展示了扎哈设计的韩国首尔的东大门广场。我们可以清晰地看到曲面上的两组彼此共轭的叶状结构。

曲面上所有的全纯二次微分构成一个线性空间，原则上两个调和叶状结构可以相加得到另外一个调和叶状结构。如图18所示。这一线性空间的维数由曲面的拓扑所决定。在扎哈的设计中，这种思想并没有直接体现出来。

图18. 曲面上的调和foliation构成线性空间，前两个foliation之和等于第三个（作者雷娜、郑晓朋）

图19. 扎哈设计的游艇，显示了曲面上的Train Track结构

图20. 曲面上的Train Track

在低维拓扑中，菲尔兹奖得主瑟斯顿（Thurston）提出了一种方法来表示曲面上的叶状结构。局部上，多条叶子彼此平行，我们可以将彼此平行的叶子捏成一股，所得的图（Graph）被瑟斯顿命名为“火车道”（Train Track）。火车道的最大特点是不同的火车道在交点处相切。瑟斯顿用火车道研究了曲面自同胚群的内在结构。如图19所示，扎哈设计的游艇框架和曲面上的火车道结构非常相像，本质上是曲面上叶状结构的一种表示。

曲面的叶状结构（Foliation）在扎哈手中用得出神入化。在几何中，曲面的全纯二次微分和调和叶状结构由复杂的几何偏微分方程来刻画。扎哈居然能够仅仅凭借单纯的想象就掌握了调和叶状结构的精髓，并且用建筑言语来向世人传达。单凭这一点，扎哈绝对是世所罕见的天才！

图21. 扎哈和她所热爱终生的Foliation

扎哈•哈迪德的成名之路充满荆棘。她的几何思想超越于时代，因此她很早就被称作“解构主义大师”。她大胆运用几何结构，坚决捍卫自己的美学价值，但是不为世人所理解。在长达二十年的艰辛岁月中，她的作品无一被真正建造出来，她甚至一度被称为“纸上谈兵”的建筑设计师。

但是扎哈坚守自己的价值理念，在建筑领域中成为了几何的斗士。自然的真理由几何写就，扎哈的命运融入到对自然真理的追求之中，最终她向世人展示了几何的魅力，颠覆了传统建筑美学标准。

斯人已逝，风范长存。扎哈并没有走，她的作品和精神将与世永存！